Glossar Elektrodynamik

Die wichtigsten Begriffe in je zwei, drei Sätzen. Der Pfeil führt zur Seite mit Herleitung und Beispielen; die Formelsammlung fasst die zugehörigen Formeln zusammen.

A–D

Ampèresches Gesetz

Das Linienintegral von $\mathbf{B}$ um eine geschlossene Kurve ist proportional zum durchfließenden Strom: $\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_{0}I$$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\frac{4\pi }{c}I$. Wie das Gaußsche Gesetz liefert es das Feld direkt nur bei hoher Symmetrie. → Magnetostatik - Grundgleichungen

Bildladung

Fiktive Ladung außerhalb des betrachteten Gebiets, die so gewählt wird, dass die Randbedingung (z. B. $\varphi =0$ auf einem geerdeten Leiter) automatisch erfüllt ist. Nach dem Eindeutigkeitssatz ist das so gefundene Potential die richtige Lösung. → Spiegelmethode (Elektrostatik)

Biot–Savart-Gesetz

Berechnet das Magnetfeld einer stationären Stromverteilung durch Aufsummieren der Beiträge aller Stromelemente – das magnetische Gegenstück zum Coulomb-Integral. → Magnetostatik - Grundgleichungen

Coulomb-Eichung

Eichbedingung $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$. Das Skalarpotential erfüllt dann zu jeder Zeit die Poisson-Gleichung, das Vektorpotential wird nur vom transversalen Strom getrieben. → Coulomb-Eichung (Elektrodynamik)

Dielektrikum

Isolator, dessen Moleküle sich im Feld polarisieren. Die gebundenen Ladungen schwächen das Feld im Inneren; in linearen Medien tritt die Dielektrizitätszahl $\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$$\epsilon$ auf (im Gauß-System dimensionslos). → Dielektrika (Elektrostatik)

Dipolmoment

Maß für die Ladungstrennung, $\mathbf{p}=\int \rho \mathbf{r}{d}^{3}r$. Bestimmt das Fernfeld einer neutralen Ladungsverteilung ($\varphi \propto 1/r^2$). Magnetisch entsprechend $\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int \mathbf{r}\times \mathbf{J}{d}^{3}r$. → Multipolentwicklung (Elektrostatik)

Dirichlet-Randbedingung

Auf dem Rand ist der Wert des Potentials vorgegeben, z. B. $\varphi =\text{const}$ auf einem Leiter. Zusammen mit der Poisson-Gleichung legt sie die Lösung eindeutig fest. → Randwertprobleme (Elektrostatik)

E–H

Eichtransformation

Umformung $\mathbf{A}\to \mathbf{A}+\nabla \chi$, $\varphi \to \varphi -{\partial }_t\chi$, die die Felder $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$ nicht ändert. Die Freiheit bei der Wahl von $\chi$ nutzt man, um die Gleichungen zu vereinfachen. → Lernpfad 5 · Lorenz-Eichung (Elektrodynamik)

Eindeutigkeitssatz

Die Lösung der Poisson-Gleichung ist durch die Ladungsverteilung und Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen eindeutig bestimmt (bei Neumann bis auf eine Konstante). Deshalb darf man Lösungen „raten“, z. B. mit Bildladungen. → Randwertprobleme (Elektrostatik)

Einsteinsche Summenkonvention

Regel für die Indexschreibweise: Ein Index, der in einem Term zweimal vorkommt, wird von 1 bis 3 aufsummiert, das Summenzeichen lässt man weg, $a_i{b}_i={\sum }_i{a}_i{b}_i$. Freie Indizes müssen auf beiden Seiten einer Gleichung übereinstimmen. → Indexschreibweise – Summenkonvention, δ und ε

Entelektrisierung

Die Polarisationsladungen an der Oberfläche eines Körpers erzeugen im Inneren ein Gegenfeld, das das äußere Feld abschwächt. Für Ellipsoide gilt ${\mathbf{E}}_{\text{in}}={\mathbf{E}}_0-\mathsf{N}\mathbf{P}/{\epsilon }_0$${\mathbf{E}}_{\text{in}}={\mathbf{E}}_0-4\pi \mathsf{N}\mathbf{P}$ mit dem Entelektrisierungsfaktor $N$ (Kugel $1/3$). → Dielektrika (Elektrostatik)

Feldenergie

Die Energie einer Ladungsanordnung sitzt im Feld, mit der Dichte $u=\frac{{\epsilon }_0}{2}{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2$$u=\frac{1}{8\pi }(E^2+B^2)$. → Energie und Kapazität in der Elektrostatik

Gauß-System

Einheitensystem, in dem die Coulombkraft einfach $F=q_1{q}_2/r^2$ lautet; Basiseinheiten cm, g, s, Ladung in statC. $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$ haben dieselbe Dimension, dafür steht $4\pi$ in den Feldgleichungen. Die Vorlesung im WiSe 26/27 rechnet darin. → Einheitensysteme

Gaußsches Gesetz

Der Fluss von $\mathbf{E}$ durch eine geschlossene Fläche ist proportional zur eingeschlossenen Ladung, $\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{in}}/{\epsilon }_0$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=4\pi Q_{\text{in}}$. Bei Kugel-, Zylinder- oder Ebenensymmetrie liefert es das Feld in einer Zeile. → Elektrostatik - Lernseite (Grundlagen)

Gebundene Ladungen und Ströme

Ladungen (${\rho }_b=-\nabla \cdot \mathbf{P}$, ${\sigma }_b=\mathbf{P}\cdot \mathbf{n}$) und Ströme (${\mathbf{J}}_b=\nabla \times \mathbf{M}$${\mathbf{J}}_b=c\nabla \times \mathbf{M}$, ${\mathbf{K}}_b=\mathbf{M}\times \mathbf{n}$${\mathbf{K}}_b=c\mathbf{M}\times \mathbf{n}$), die durch Polarisation bzw. Magnetisierung von Materie entstehen, im Gegensatz zu freien Ladungen und Strömen. → Elektrostatik in Materie

Green-Funktion

Lösung der Poisson-Gleichung mit einer $\delta$-Quelle unter gegebenen Randbedingungen. Kennt man sie, erhält man die Lösung für jede Ladungsverteilung als Integral. Das Vorzeichen ist Konvention: die Vorlesung nimmt $\Delta G=+\delta$, also $G=-\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$ im freien Raum. → Green-Funktionen (Elektrostatik)

Helmholtz-Zerlegung

Jedes (hinreichend schnell abfallende) Vektorfeld lässt sich eindeutig in einen wirbelfreien (longitudinalen) und einen quellenfreien (transversalen) Anteil zerlegen. → Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder)

I–L

Induktivität

Verhältnis von magnetischem Fluss zu Strom, $L=\Phi /I$$L=\Phi /(cI)$. Bestimmt die Induktionsspannung $-LdI/dt$ und die magnetische Energie $\frac{1}{2}L{I}^2$. → Induktivität und magnetische Energie

Kapazität

Verhältnis von Ladung zu Spannung, $C=Q/U$. Hängt nur von Geometrie und Material ab. → Energie und Kapazität in der Elektrostatik

Kontinuitätsgleichung

${\partial }_t\rho +\nabla \cdot \mathbf{J}=0$: Ladung kann nicht entstehen oder verschwinden, nur fließen. Sie folgt aus den Maxwell-Gleichungen – aber nur mit dem Verschiebungsstrom. → Elektrodynamik - Dynamik und Wellen

Kontinuitätsgleichung

${\partial }_t\rho +\nabla \cdot \mathbf{J}=0$: Ladung kann nicht entstehen oder verschwinden, nur fließen. In der Magnetostatik folgt daraus $\nabla \cdot \mathbf{J}=0$. → Magnetostatik - Grundgleichungen

Kronecker-Delta

${\delta }_{ij}=1$ für $i=j$ und $0$ sonst – die Einheitsmatrix in Indexschreibweise. Es tauscht Indizes aus, ${\delta }_{ij}{a}_j=a_i$, und seine Spur ist ${\delta }_{ii}=3$ (in $d$ Dimensionen $d$). → Indexschreibweise – Summenkonvention, δ und ε

Laplace- und Poisson-Gleichung

${\nabla }^2\varphi =-\rho /{\epsilon }_0$${\nabla }^2\varphi =-4\pi \rho$ (Poisson) bzw. ${\nabla }^2\varphi =0$ im ladungsfreien Raum (Laplace). Die zentrale Gleichung der Elektrostatik. → Elektrostatik - Lernseite (Grundlagen)

Legendre-Polynome

Die Winkelfunktionen $P_{\ell }(\cos \theta )$, die bei der Separation der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten ohne $\phi$-Abhängigkeit auftreten. Sie sind orthogonal und bilden eine Basis. → Legendre-Ansatz und Grenzflächen

Lenzsche Regel

Der induzierte Strom ist so gerichtet, dass er der Flussänderung entgegenwirkt – das Minuszeichen im Induktionsgesetz. → Faraday-Induktion (Elektrodynamik)

Levi-Civita-Symbol

${\epsilon }_{ijk}=+1$ für zyklische $(i,j,k)$, $-1$ für antizyklische, $0$ bei zwei gleichen Indizes. Total antisymmetrisch; damit werden Kreuzprodukte und Rotationen zu Komponentenausdrücken, $(\nabla \times \mathbf{F}{)}_i={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{F}_k$. → Indexschreibweise – Summenkonvention, δ und ε

Lorentz-Transformation

Die Koordinatentransformation zwischen Inertialsystemen, unter der die Lichtgeschwindigkeit konstant und die Maxwell-Gleichungen forminvariant bleiben. → Relativität – Lorentz-Transformation

Lorentzkraft

Kraft auf eine bewegte Punktladung, $\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c}\times \mathbf{B})$. Der magnetische Anteil steht senkrecht auf $\mathbf{v}$ und leistet keine Arbeit. → Magnetostatik - Grundgleichungen

Lorenz-Eichung

Eichbedingung $\nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c^2}{\partial }_t\varphi =0$. Beide Potentiale erfüllen dann entkoppelte Wellengleichungen; kovariant geschrieben ${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$. → Lorenz-Eichung (Elektrodynamik)

M–P

Magnetisierung

Magnetisches Dipolmoment pro Volumen, $\mathbf{M}$. Zusammen mit $\mathbf{B}={\mu }_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})$$\mathbf{B}=\mathbf{H}+4\pi \mathbf{M}$ beschreibt sie Magnetfelder in Materie. → Magnetische Felder in Materie

Maxwell-Spannungstensor

Tensor $T_{ij}$, dessen Oberflächenintegral die Kraft auf alle eingeschlossenen Ladungen und Ströme liefert – Kräfte aus Feldern, ohne die Ladungen einzeln zu kennen. → Maxwell-Spannungstensor (Elektrostatik)

Minkowski-Raum

Die vierdimensionale Raumzeit mit Metrik $\eta =\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$, in der die spezielle Relativität am einfachsten aussieht. → Minkowski-Raum und Vierervektoren

Multipolentwicklung

Entwicklung des Potentials einer lokalisierten Ladungsverteilung nach Potenzen von $1/r$: Monopol, Dipol, Quadrupol, … Weit weg dominiert der erste nichtverschwindende Term. → Multipolentwicklung (Elektrostatik)

Neumann-Randbedingung

Auf dem Rand ist die Normalableitung $\partial \varphi /\partial n$ vorgegeben, also die Normalkomponente des Feldes. → Randwertprobleme (Elektrostatik)

Polarisation

Elektrisches Dipolmoment pro Volumen, $\mathbf{P}$. In linearen Medien $\mathbf{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\mathbf{E}$$\mathbf{P}={\chi }_e\mathbf{E}$. → Dielektrika (Elektrostatik)

Poynting-Vektor

$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$$\mathbf{S}=\frac{c}{4\pi }\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ gibt Richtung und Stärke des Energieflusses im Feld an (Leistung pro Fläche). → Impulsbilanz und Poynting-Vektor

R–Z

Retardierte Potentiale

Lösungen der Wellengleichungen für $\varphi$ und $\mathbf{A}$, bei denen jede Quelle zur früheren Zeit $t-|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|/c$ zählt: Änderungen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. → Lorenz-Eichung (Elektrodynamik)

Suszeptibilität

Proportionalitätsfaktor zwischen Feld und Materialantwort: $\mathbf{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\mathbf{E}$$\mathbf{P}={\chi }_e\mathbf{E}$, $\mathbf{M}={\chi }_m\mathbf{H}$. Es gilt ${\epsilon }_r=1+{\chi }_e$$\epsilon =1+4\pi {\chi }_e$ und ${\mu }_r=1+{\chi }_m$$\mu =1+4\pi {\chi }_m$. → Materialgesetze Magnetik

Variationsprinzip

Die Lösung der Poisson-Gleichung minimiert das Energiefunktional $W[\varphi ]=\int [\frac{{\epsilon }_0}{2}|\nabla \varphi {|}^2-\rho \varphi ]d^{3}r$$W[\varphi ]=\int [\frac{1}{8\pi }|\nabla \varphi {|}^2-\rho \varphi ]d^{3}r$. Daraus folgt die Existenz von Lösungen für Randwertprobleme. → Variationsprinzip (Elektrostatik)

Vektorpotential

Feld $\mathbf{A}$ mit $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$. Existiert, weil $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$ gilt, und ist nur bis auf einen Gradienten bestimmt (Eichfreiheit). → Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential

Verschiebungsfeld

$\mathbf{D}={\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$$\mathbf{D}=\mathbf{E}+4\pi \mathbf{P}$. Seine Quellen sind nur die freien Ladungen, $\nabla \cdot \mathbf{D}={\rho }_{\text{frei}}$$\nabla \cdot \mathbf{D}=4\pi {\rho }_{\text{frei}}$. → Dielektrika (Elektrostatik)

Verschiebungsstrom

Der Term ${\mu }_0{\epsilon }_0{\partial }_t\mathbf{E}$$\frac{1}{c}{\partial }_t\mathbf{E}$ im Ampère-Maxwell-Gesetz. Ohne ihn widerspräche das Ampèresche Gesetz der Ladungserhaltung, und es gäbe keine elektromagnetischen Wellen. → Elektrodynamik - Dynamik und Wellen

Viererpotential

$A^{\mu }=(\varphi /c,\mathbf{A})$$A^{\mu }=(\varphi ,\mathbf{A})$ fasst Skalar- und Vektorpotential zu einem Vierervektor zusammen; in Lorenz-Eichung gilt $\square A^{\mu }=-{\mu }_0{J}^{\mu }$$\square A^{\mu }=-\frac{4\pi }{c}{J}^{\mu }$. → Minkowski-Raum und Vierervektoren