Stromverteilungen & Magnetisches Vektorpotential

Diese Notiz bündelt Strategien zum Umgang mit kontinuierlichen stromführenden Strukturen und beschreibt deren Felder über das magnetische Vektorpotential $\mathbf{A}$. Sie ergänzt Magnetostatik - Grundgleichungen, verweist auf Randwertprobleme (Elektrostatik) für methodische Parallelen und bildet die Grundlage für die spätere Notiz Magnetische Felder in Materie.

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1. Stromverteilungen

Typ	Beschreibung	Kontinuitätsbedingung
Linienstrom $I$	Strom entlang einer Kurve $\mathcal{L}$	$\mathbf{J}(\mathbf{r})=I{\int }_{\mathcal{L}}\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })d{\mathbf{\ell }}^{\prime }$
Flächenstrom $\mathbf{K}$	Stromdichte auf einer Oberfläche $S$	${\nabla }_s\cdot \mathbf{K}=0$
Volumenstrom $\mathbf{J}$	Stromdichte im Volumen $V$	$\nabla \cdot \mathbf{J}=0$

Konvention: Die positiven Richtungen folgen der Orientierung von $d\mathbf{\ell }$, $d\mathbf{a}$ und $d^{3}r$.

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2. Magnetisches Vektorpotential $\mathbf{A}$

Definition

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A},\nabla \cdot \mathbf{A}=0\text{(Coulomb-Eichung)}$$

Poisson-Gleichung

$${\nabla }^2\mathbf{A}=-{\mu }_0\mathbf{J}$$

Lösung für allgemeine Stromverteilungen

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V\frac{\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$$

Für Linienströme:

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\int }_{\mathcal{L}}\frac{d{\mathbf{\ell }}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$$

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3. Typische Strommodelle & $\mathbf{A}$

3.1 Unendlich langer Leiter

• $\mathbf{J}=I\delta (x)\delta (y)\hat{\mathbf{z}}$
• $A_z(r)=-\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\ln \left(\frac{r}{r_0}\right)$ ($r_0$ beliebige Referenz; das Integral über den unendlichen Draht divergiert, nur Differenzen sind physikalisch)
• Feld: $\mathbf{B}=\nabla \times (A_z\hat{\mathbf{z}})=-{\partial }_r{A}_z\hat{\mathbf{\phi }}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\hat{\mathbf{\phi }}$

3.2 Kreisstrom (Radius $R$)

• $\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\oint \frac{d{\mathbf{\ell }}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$
• Aus Symmetrie hat $\mathbf{A}$ nur eine $\phi$-Komponente: $\mathbf{A}=A_{\phi }(r,\theta )\hat{\mathbf{\phi }}$; auf der Achse ist $\mathbf{A}=0$.
• Das allgemeine $A_{\phi }$ führt auf elliptische Integrale. Fernfeld ($r\gg R$): Dipolform $$\mathbf{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\mathbf{m}\times \hat{\mathbf{r}}}{r^2},\mathbf{m}=I\pi R^2\hat{\mathbf{z}}.$$
• $\mathbf{B}$ auf der Achse bequemer direkt mit Biot–Savart: $B_z=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+z^2{)}^{3/2}}$.

3.3 Langes Solenoid (Windungsdichte $n$)

• $\mathbf{J}=nI\delta (r-R)\hat{\mathbf{\phi }}$ (Flächenstrom $K=nI$)
• Innen ($r<R$): $A_{\phi }=\frac{1}{2}{\mu }_{0}nIr$
• Außen ($r>R$): $A_{\phi }=\frac{1}{2}{\mu }_{0}nI\frac{R^2}{r}$

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4. Energie & Induktivität

$$W=\frac{1}{2}{\int }_V\mathbf{J}\cdot \mathbf{A}{d}^{3}r=\frac{1}{2}L{I}^2$$

Vorgehen:

1. Bestimme $\mathbf{A}$ für die gegebene Stromdichte $\mathbf{J}$.
2. Werte $\int \mathbf{J}\cdot \mathbf{A}{d}^{3}r$ aus.
3. Leite daraus $L$ ab oder verifiziere bekannte Induktivitäten (Solenoid, Toroid).

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5. Randwert- & Symmetrieüberlegungen

• Linearität: $\mathbf{A}$ überlagert sich für mehrere Quellen direkt.
• Spiegelmethode (magnetostatische Analogie): Bei perfekten Leitern können Bildströme genutzt werden; vgl. Spiegelmethode (Elektrostatik).
• Numerische Lösungen: Diskretisiere $\mathbf{J}$ und löse ${\nabla }^2\mathbf{A}=-{\mu }_0\mathbf{J}$ (Finite Differences/Elements) mit Randbedingungen $\mathbf{A}\to 0$ für $r\to \infty$ oder periodischen Grenzen.

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6. Verknüpfungen & weiterführende Notizen

• Magnetostatik - Grundgleichungen für Maxwell-Grundlagen.
• Randwertprobleme (Elektrostatik) · Spiegelmethode (Elektrostatik) (Analogie für Bildströme).
• Magnetische Felder in Materie für $\mathbf{M}$, $\mathbf{H}$ und gebundene Ströme.
• Gauges & Zerlegung: Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder), Coulomb-Eichung (Elektrodynamik), Poincaré-Eichung (Elektrodynamik), Lorenz-Eichung (Elektrodynamik), Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.