Poincaré-Eichung (radiale Eichung)

Eichbedingung: $\mathbf{r}\cdot {\mathbf{A}}_p(\mathbf{r},t)=0$ (daraus folgt insbesondere ${\int }_0^{1}du{\mathbf{A}}_p(u\mathbf{r},t)\cdot \mathbf{r}=0$). Nutze sie, um Potentiale direkt aus Feldern auszudrücken.

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1. Resultierende Potentiale

$${\mathbf{A}}_p(\mathbf{r},t)=-{\int }_0^{1}duu\mathbf{r}\times \mathbf{B}(u\mathbf{r},t),{\varphi }_p(\mathbf{r},t)=-{\int }_0^{1}du\mathbf{r}\cdot \mathbf{E}(u\mathbf{r},t).$$

Eichwechsel: ${\mathbf{A}}_p=\mathbf{A}+\nabla \chi$, ${\varphi }_p=\varphi -{\partial }_t\chi$; wähle $\chi$ so, dass $\mathbf{r}\cdot {\mathbf{A}}_p=0$ erfüllt ist.

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2. Herleitungs-Skizze

1. Starte aus ${\int }_0^{1}du{\mathbf{A}}_p(u\mathbf{r})\cdot \mathbf{r}=0$ → leite Bedingung für $\chi$ ab.
2. Nutze Kugelkoordinaten und $\nabla \times (f\mathbf{r})=\nabla f\times \mathbf{r}$ für radial abhängige $f$.
3. Setze $\mathbf{B}=\nabla \times {\mathbf{A}}_p$, $\mathbf{E}=-\nabla {\varphi }_p-{\partial }_t{\mathbf{A}}_p$ → erhalte obige Integrale.

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3. Beispiel: homogene Felder

Homogenes Magnetfeld $\mathbf{B}$: Da $\mathbf{B}(u\mathbf{r})=\mathbf{B}$ nicht von $u$ abhängt, ${\mathbf{A}}_p=-{\int }_0^{1}udu\mathbf{r}\times \mathbf{B}=-\frac{1}{2}\mathbf{r}\times \mathbf{B}=\frac{1}{2}\mathbf{B}\times \mathbf{r}.$ Check: $\mathbf{r}\cdot (\mathbf{B}\times \mathbf{r})=0$ ✓, und $\nabla \times \left(\frac{1}{2}\mathbf{B}\times \mathbf{r}\right)=\frac{1}{2}\left[\mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{r})-(\mathbf{B}\cdot \nabla )\mathbf{r}\right]=\frac{1}{2}(3\mathbf{B}-\mathbf{B})=\mathbf{B}$ ✓. Das ist die bekannte „symmetrische Eichung“.

Symmetrische Eichung im homogenen B-Feld: A_p kreist um den Ursprung, steht überall senkrecht auf r und wächst linear mit dem Abstand. Die Zirkulation längs eines Kreises ist damit πr²B, also genau der eingeschlossene Fluss.

Homogenes elektrisches Feld $\mathbf{E}$ (statisch): ${\varphi }_p=-{\int }_0^{1}du\mathbf{r}\cdot \mathbf{E}=-\mathbf{E}\cdot \mathbf{r},-\nabla {\varphi }_p=\mathbf{E}✓$

4. Hinweise

• Die Darstellung nutzt Feldwerte entlang der Linie $u\mathbf{r}$ (radiale Integration).
• Konsistenz prüfen: Einsetzen in Felddefinitionen muss $\mathbf{E},\mathbf{B}$ reproduzieren.
• Praktisch vor allem für Aufgaben, die explizit nach dieser Eichung fragen.

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5. Verknüpfungen

• Gauges: Coulomb-Eichung (Elektrodynamik), Lorenz-Eichung (Elektrodynamik).
• Methoden: Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder), Vektoranalysis.
• Dynamik: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.