Coulomb-Eichung (Elektrodynamik)

Eichbedingung: $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$. Skalarpotential folgt sofort aus Poisson, das Vektorpotential aus der transversalen Stromdichte.

---

1. Feldgleichungen in Coulomb-Eichung

$${\nabla }^2\varphi =-\rho /{\epsilon }_0,{\nabla }^2\mathbf{A}-\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2\mathbf{A}=-{\mu }_0{\mathbf{j}}_T.$$

Transversaler Projektor (siehe Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder)):

$${\mathbf{j}}_T(\mathbf{r})=\nabla \times \int \frac{{\nabla }^{\prime }\times \mathbf{j}({\mathbf{r}}^{\prime })}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }.$$

Felder:

$$\mathbf{E}=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A},\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}.$$

---

2. Praktische Schritte

1. $\varphi$: Poisson mit gegebenem $\rho$ lösen (statisch oder quasistatisch).
2. ${\mathbf{j}}_T$ aus $\mathbf{j}$ projizieren.
3. Wellengleichung für $\mathbf{A}$ lösen (Grenzbedingungen: $\mathbf{A}\to 0$ im Fernfeld).
4. Felder berechnen, Kontinuitätsgleichung prüfen.

---

3. Warum ist $\varphi$ instantan – und trotzdem kausal?

In Coulomb-Eichung ist das Skalarpotential das instantane Coulomb-Potential, $\varphi (\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime },t)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }.$ Ändert sich irgendwo die Ladung, reagiert $\varphi$ überall sofort. Das widerspricht nicht der Relativität, denn $\varphi$ ist nicht messbar – messbar sind nur die Felder $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$.

Der transversale Strom ${\mathbf{J}}_T$, der $\mathbf{A}$ antreibt, ist selbst nichtlokal (siehe Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder)) und enthält einen instantanen Anteil. Dieser hebt im elektrischen Feld den instantanen Beitrag von $-\nabla \varphi$ genau auf. Übrig bleiben retardierte Felder – dieselben wie in der Lorenz-Eichung.

Wie kommt man in die Coulomb-Eichung?

Hat man Potentiale mit $\nabla \cdot \mathbf{A}\ne 0$, wählt man $\chi$ als Lösung von ${\nabla }^2\chi =-\nabla \cdot \mathbf{A}.$ Dann erfüllt ${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi$ die Bedingung $\nabla \cdot {\mathbf{A}}^{\prime }=0$, und ${\varphi }^{\prime }=\varphi -{\partial }_t\chi$.

4. Hinweise & Checks

• $\nabla \cdot {\mathbf{j}}_T=0$ muss gelten.
• In der Statik fällt der Zeitableitungsterm weg → ${\nabla }^2\mathbf{A}=-{\mu }_0{\mathbf{j}}_T$.
• Vergleich mit Lorenz-Eichung: dort wirkt vollständige $\mathbf{j}$, aber gekoppelt mit ${\partial }_t\varphi$ (siehe Lorenz-Eichung (Elektrodynamik)).

---

5. Verknüpfungen

• Methoden: Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder), Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential, Vektoranalysis.
• Dynamik: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.
• Verwandte Gauges: Lorenz-Eichung (Elektrodynamik), Poincaré-Eichung (Elektrodynamik).