Einheitensysteme – SI, Gauß und Heaviside-Lorentz

Die Elektrodynamik lässt sich in verschiedenen Einheitensystemen aufschreiben. Die Physik ist dieselbe, aber Faktoren wie $4\pi$, ${\epsilon }_0$ und $c$ wandern zwischen den Formeln hin und her. Das Wiki ist ursprünglich in SI geschrieben, die Vorlesung im WiSe 26/27 rechnet konsequent im Gauß-System. Mit dem Umschalter oben auf den Seiten siehst du die Formeln in beiden Systemen.

Warum es überhaupt mehrere Systeme gibt

Messbar ist nicht das Feld selbst, sondern die Kraft zwischen Ladungen. In der Coulombkraft tritt die Ladung nur als Produkt $q_1{q}_2$ zusammen mit einer Konstante auf. Man kann deshalb die Einheit der Ladung so wählen, dass die Konstante eine bequeme Form bekommt:

System	Coulombkraft	Ladungseinheit
SI	$F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}$	Coulomb, über das Ampere festgelegt
Gauß	$F=\frac{q_1{q}_2}{r^2}$	Statcoulomb, $1\mathrm{statC}=1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{3/2}{\mathrm{g}}^{1/2}{\mathrm{s}}^{-1}$
Heaviside-Lorentz	$F=\frac{1}{4\pi }\frac{q_1{q}_2}{r^2}$	so gewählt, dass in den Maxwell-Gleichungen kein $4\pi$ steht

Das Gauß-System benutzt cm, g und s als Basiseinheiten. Weil die Ladung keine eigene Grundeinheit hat, haben $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$ dort dieselbe Dimension. Das vereinfacht vor allem die kovariante Formulierung in der Relativität. Heaviside-Lorentz ist vor allem in der Hochenergiephysik verbreitet.

Maxwell-Gleichungen in allen drei Systemen

	SI	Gauß	Heaviside-Lorentz
Gauß	$\nabla \cdot \mathbf{E}=\rho /{\epsilon }_0$	$\nabla \cdot \mathbf{E}=4\pi \rho$	$\nabla \cdot \mathbf{E}=\rho$
Faraday	$\nabla \times \mathbf{E}=-{\partial }_t\mathbf{B}$	$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{1}{c}{\partial }_t\mathbf{B}$	$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{1}{c}{\partial }_t\mathbf{B}$
keine Monopole	$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$	$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$	$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$
Ampère–Maxwell	$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0{\partial }_t\mathbf{E}$	$\nabla \times \mathbf{B}=\frac{4\pi }{c}\mathbf{J}+\frac{1}{c}{\partial }_t\mathbf{E}$	$\nabla \times \mathbf{B}=\frac{1}{c}\mathbf{J}+\frac{1}{c}{\partial }_t\mathbf{E}$
Lorentzkraft	$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$	$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c}\times \mathbf{B})$	$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c}\times \mathbf{B})$
Poisson	$\Delta \varphi =-\rho /{\epsilon }_0$	$\Delta \varphi =-4\pi \rho$	$\Delta \varphi =-\rho$
Feldenergiedichte	$\frac{{\epsilon }_0}{2}{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2$	$\frac{1}{8\pi }(E^2+B^2)$	$\frac{1}{2}(E^2+B^2)$

Im Gauß-System steht das $4\pi$ bei den Quellen (Feldgleichungen), dafür fehlt es in den Lösungen (Coulomb: $\varphi =q/r$). Im SI-System ist es umgekehrt.

Formeln von SI ins Gauß-System übersetzen

Für eine Formel, die nur aus Feldern, Ladungen und Strömen besteht, reicht eine formale Ersetzung:

Ersetze	durch	Beispiel
${\epsilon }_0$	$\frac{1}{4\pi }$	$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}\to \frac{q}{r}$
${\mu }_0$	$\frac{4\pi }{c^2}$	${\epsilon }_0{\mu }_0=\frac{1}{c^2}$ bleibt richtig
$\mathbf{B},\mathbf{A}$	$\frac{\mathbf{B}}{c},\frac{\mathbf{A}}{c}$	$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c}\times \mathbf{B})$
$\mathbf{D},\mathbf{H}$	$\frac{\mathbf{D}}{4\pi },\frac{c\mathbf{H}}{4\pi }$	$\mathbf{D}=\mathbf{E}+4\pi \mathbf{P}$
$\mathbf{M}$	$c\mathbf{M}$	$\mathbf{B}=\mathbf{H}+4\pi \mathbf{M}$

Unverändert bleiben $\mathbf{E}$, $\varphi$, $q$, $\rho$, $\mathbf{J}$, $I$ und $\mathbf{P}$. Die Ersetzung ändert nur die Gestalt der Formel. Die Zahlenwerte von Ladung und Feld sind in den beiden Systemen verschieden, siehe nächster Abschnitt.

Beispiel: Feld eines Drahts übersetzen

SI: $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$. Ersetze $B\to B/c$ und ${\mu }_0\to 4\pi /c^2$: $\frac{B}{c}=\frac{4\pi }{c^2}\frac{I}{2\pi r}⟹B=\frac{2I}{cr}.$ Genau das liefert auch das Biot-Savart-Gesetz im Skript (III.B.5).

Zahlenwerte umrechnen

Größe	SI	Gauß
Länge, Masse	1 m, 1 kg	$10^2$ cm, $10^3$ g
Kraft	1 N	$10^5$ dyn
Energie	1 J	$10^7$ erg
Ladung	1 C	$2,998\cdot 10^9$ statC
Elementarladung	$e=1,602\cdot 10^{-19}$ C	$e=4,803\cdot 10^{-10}$ statC
Strom	1 A	$2,998\cdot 10^9$ statA
Spannung	299,79 V	1 statV
elektrisches Feld	$2,998\cdot 10^4$ V/m	1 statV/cm
Magnetfeld	1 T	$10^4$ G (Gauß)
Kapazität	1 F	$8,988\cdot 10^{11}$ cm

Die krummen Faktoren sind immer Potenzen von $c=2,998\cdot 10^{10}$ cm/s.

Beispiel: Coulombkraft zweier Elektronen im Abstand 1 Å

Gauß: $F=\frac{e^2}{r^2}=\frac{(4,803\cdot 10^{-10}{)}^2}{(10^{-8}{)}^2}\mathrm{dyn}=2,307\cdot 10^{-3}\mathrm{dyn}$.

SI: $F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r^2}=8,988\cdot 10^9\cdot \frac{(1,602\cdot 10^{-19}{)}^2}{(10^{-10}{)}^2}\mathrm{N}=2,307\cdot 10^{-8}\mathrm{N}$.

Beides ist dieselbe Kraft, denn $1\mathrm{N}=10^5\mathrm{dyn}$. Ein schöner Check ist die Feinstrukturkonstante: $\alpha =\frac{e^2}{\hslash c}$ (Gauß) $=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash c}$ (SI) $\approx \frac{1}{137}$.

Typische Fehler beim Umrechnen

• Green-Funktion aus der falschen Konvention: Die Vorlesung nimmt $G=-\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$ mit $\Delta G=+\delta$, das SI-Wiki $G_0=+\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$ mit ${\nabla }^2{G}_0=-\delta$. Das ist eine Vorzeichenkonvention, keine Einheitenfrage. $G$ und Quellterm immer aus derselben Quelle nehmen, siehe Green-Funktionen (Elektrostatik).
• $c$ vergessen: Jedes $\mathbf{B}$, $\mathbf{A}$ und jeder Strom kommt im Gauß-System mit einem $1/c$. Kontrolle: $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$ müssen dieselbe Dimension haben.
• SI-Zahlen in Gauß-Formeln: $e=1,6\cdot 10^{-19}$ in $F=e^2/r^2$ einzusetzen ist falsch. Zahlen und Formeln immer aus demselben System nehmen.
• $\epsilon$ in Materie: Im Gauß-System ist $\epsilon$ dimensionslos (Vakuum: $\epsilon =1$) und entspricht ${\epsilon }_r$ im SI. Ebenso $\mu$ und ${\mu }_r$.
• Vakuum: $\mathbf{H}=\mathbf{B}$: Im Gauß-System haben $\mathbf{B}$ (Gauß) und $\mathbf{H}$ (Oersted) dieselbe Dimension und im Vakuum denselben Wert.
• Induktivität: Die Definition ist im Gauß-System nicht einheitlich. Im Wiki gilt $\Phi =cLI$, damit bleiben $\mathcal{E}=-L\dot{I}$ und $W=\frac{1}{2}L{I}^2$ erhalten.

Verwandte Seiten

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Im Skript WiSe 26/27: Abschnitt I.C.