Vektoranalysis – Toolbox für Theo III

Kompakte Referenz für Operatoren, Koordinatensysteme, Integralsätze und Identitäten, abgestimmt auf Elektrostatik und Energie und Kapazität in der Elektrostatik. Nutze die Abschnitte als Spickzettel und verlinke sie aus thematischen Notizen.

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1. Grundlegende Operatoren (kartesisch)

Operator	Definition	Geometrische Bedeutung
Gradient $\nabla f$	$\nabla f={\partial }_{x}f{\hat{e}}_x+{\partial }_{y}f{\hat{e}}_y+{\partial }_{z}f{\hat{e}}_z$	Richtung maximaler Zunahme von $f$
Divergenz $\nabla \cdot \vec{F}$	$\nabla \cdot \vec{F}={\partial }_x{F}_x+{\partial }_y{F}_y+{\partial }_z{F}_z$	Quellen-/Senkenmaß von $\vec{F}$
Rotation (Curl) $\nabla \times \vec{F}$	Determinante mit $({\hat{e}}_i,{\partial }_i,F_i)$	Wirbelstärke (lokale Rotation)
Laplacian ${\nabla }^{2}f$	${\nabla }^{2}f={\partial }_x^{2}f+{\partial }_y^{2}f+{\partial }_z^{2}f$	Divergenz des Gradienten

Siehe Elektrostatik - Lernseite (Grundlagen) für Anwendungen auf Felder und Potenziale.

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2. Differentialoperatoren in häufigen Koordinaten

2.1 Zylinderkoordinaten $(\rho ,\phi ,z)$

• Gradient:
  $\nabla f={\partial }_{\rho }f{\hat{e}}_{\rho }+\frac{1}{\rho }{\partial }_{\phi }f{\hat{e}}_{\phi }+{\partial }_{z}f{\hat{e}}_z$
• Divergenz:
  $\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{\rho }{\partial }_{\rho }(\rho F_{\rho })+\frac{1}{\rho }{\partial }_{\phi }{F}_{\phi }+{\partial }_z{F}_z$
• Rotation:
  $(\nabla \times \vec{F}{)}_{\rho }=\frac{1}{\rho }{\partial }_{\phi }{F}_z-{\partial }_z{F}_{\phi }$ $(\nabla \times \vec{F}{)}_{\phi }={\partial }_z{F}_{\rho }-{\partial }_{\rho }{F}_z$ $(\nabla \times \vec{F}{)}_z=\frac{1}{\rho }{\partial }_{\rho }(\rho F_{\phi })-\frac{1}{\rho }{\partial }_{\phi }{F}_{\rho }$
• Laplace-Operator:
  ${\nabla }^{2}f=\frac{1}{\rho }{\partial }_{\rho }(\rho {\partial }_{\rho }f)+\frac{1}{{\rho }^2}{\partial }_{\phi }^{2}f+{\partial }_z^{2}f$

2.2 Kugelkoordinaten $(r,\theta ,\varphi )$

• Gradient:
  $\nabla f={\partial }_{r}f{\hat{e}}_r+\frac{1}{r}{\partial }_{\theta }f{\hat{e}}_{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }{\partial }_{\varphi }f{\hat{e}}_{\varphi }$
• Divergenz:
  $\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{r^2}{\partial }_r(r^2{F}_r)+\frac{1}{r\sin \theta }{\partial }_{\theta }(\sin \theta F_{\theta })+\frac{1}{r\sin \theta }{\partial }_{\varphi }{F}_{\varphi }$
• Laplace-Operator (Skalar):
  ${\nabla }^{2}f=\frac{1}{r^2}{\partial }_r(r^2{\partial }_{r}f)+\frac{1}{r^2\sin \theta }{\partial }_{\theta }(\sin \theta {\partial }_{\theta }f)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }{\partial }_{\varphi }^{2}f$

Diese Formen sind essenziell für Randwertprobleme (Elektrostatik) und Multipolentwicklung (Elektrostatik).

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3. Integralsätze & Volumenelemente

Satz	Formulierung	Anwendung
Divergenzsatz (Gauß)	${\int }_V\nabla \cdot \vec{F}dV={\oint }_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{A}$	Ladungsbilanz, Flussberechnungen
Stokes	${\int }_A(\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{A}={\oint }_{\partial A}\vec{F}\cdot d\vec{r}$	Wirbel, Induktionsgesetz
Gradientensatz	${\int }_{\gamma }\nabla f\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)$	Potentialdifferenzen

Volumenelemente:

• Kartesisch: $dV=dxdydz$
• Zylindrisch: $dV=\rho d\rho d\phi dz$
• Kugel: $dV=r^2\sin \theta drd\theta d\varphi$

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4. Operatoridentitäten (häufig genutzt)

1. $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F})=0$
2. $\nabla \times (\nabla f)=0$
3. $\nabla \times (\nabla \times \vec{F})=\nabla (\nabla \cdot \vec{F})-{\nabla }^2\vec{F}$
4. Produktregeln:
   • $\nabla \cdot (f\vec{F})=(\nabla f)\cdot \vec{F}+f(\nabla \cdot \vec{F})$
   • $\nabla \times (f\vec{F})=(\nabla f)\times \vec{F}+f(\nabla \times \vec{F})$

Helmholtz-Theorem (Kurzverweis)

Siehe Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder) für volle Projektorformeln.

Diese Identitäten tauchen in Elektrostatik (z. B. beim Ableiten der Maxwell-Gleichungen) und in Energie und Kapazität in der Elektrostatik (bei Ableitungen der Feldenergie) auf.

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5. Indexnotation & Symbole

• Kronecker-Delta: ${\delta }_{ij}$ (Identitätstensor).
• Levi-Civita: ${\epsilon }_{ijk}$; nützlich für Kreuzprodukte: $(\vec{A}\times \vec{B}{)}_i={\epsilon }_{ijk}{A}_j{B}_k$.
• Divergenz: ${\partial }_i{F}_i$; Gradient: ${\partial }_{i}f$; Curl: $(\nabla \times \vec{F}{)}_i={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{F}_k$.

Nutze diese Schreibweisen, wenn du Gleichungen aus Lehrbüchern wie Jackson nachvollziehst.

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6. Verweise

• Hauptnotizen: Elektrostatik, Elektrostatik - Lernseite (Grundlagen), Energie und Kapazität in der Elektrostatik
• Anwendungen: Randwertprobleme (Elektrostatik), Multipolentwicklung (Elektrostatik), Dielektrika (Elektrostatik)
• Spezialisierte Guides: Flächen- und Volumenelemente – Leitfaden, Induktivität und magnetische Energie, Magnetostatik - Grundgleichungen

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Schneller Einsatz

• Immer erst Koordinatensystem fixieren; dann passenden Laplace-/Divergenz-/Curl-Operator aus der Tabelle nehmen.
• Für elektrostatische Aufgaben: ${\nabla }^2\varphi =-\rho /{\epsilon }_0$ notieren, um Rechenweg zu verankern.
• Für magnetostatische Ströme: $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}$, $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$ als Minimal-Check.