Vektoranalysis – Toolbox für Theo III

Kompakte Referenz für Operatoren, Koordinatensysteme, Integralsätze und Identitäten, abgestimmt auf Elektrostatik und Energie und Kapazität in der Elektrostatik. Nutze die Abschnitte als Spickzettel und verlinke sie aus thematischen Notizen.

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1. Grundlegende Operatoren (kartesisch)

Operator	Definition	Geometrische Bedeutung
Gradient $\nabla f$	$\nabla f={\partial }_{x}f{\hat{e}}_x+{\partial }_{y}f{\hat{e}}_y+{\partial }_{z}f{\hat{e}}_z$	Richtung maximaler Zunahme von $f$
Divergenz $\nabla \cdot \vec{F}$	$\nabla \cdot \vec{F}={\partial }_x{F}_x+{\partial }_y{F}_y+{\partial }_z{F}_z$	Quellen-/Senkenmaß von $\vec{F}$
Rotation (Curl) $\nabla \times \vec{F}$	Determinante mit $({\hat{e}}_i,{\partial }_i,F_i)$	Wirbelstärke (lokale Rotation)
Laplacian ${\nabla }^{2}f$	${\nabla }^{2}f={\partial }_x^{2}f+{\partial }_y^{2}f+{\partial }_z^{2}f$	Divergenz des Gradienten

Siehe Elektrostatik - Lernseite (Grundlagen) für Anwendungen auf Felder und Potenziale.

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2. Differentialoperatoren in häufigen Koordinaten

2.1 Zylinderkoordinaten $(\rho ,\phi ,z)$

• Gradient:
  $\nabla f={\partial }_{\rho }f{\hat{e}}_{\rho }+\frac{1}{\rho }{\partial }_{\phi }f{\hat{e}}_{\phi }+{\partial }_{z}f{\hat{e}}_z$
• Divergenz:
  $\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{\rho }{\partial }_{\rho }(\rho F_{\rho })+\frac{1}{\rho }{\partial }_{\phi }{F}_{\phi }+{\partial }_z{F}_z$
• Rotation:
  $(\nabla \times \vec{F}{)}_{\rho }=\frac{1}{\rho }{\partial }_{\phi }{F}_z-{\partial }_z{F}_{\phi }$ $(\nabla \times \vec{F}{)}_{\phi }={\partial }_z{F}_{\rho }-{\partial }_{\rho }{F}_z$ $(\nabla \times \vec{F}{)}_z=\frac{1}{\rho }{\partial }_{\rho }(\rho F_{\phi })-\frac{1}{\rho }{\partial }_{\phi }{F}_{\rho }$
• Laplace-Operator:
  ${\nabla }^{2}f=\frac{1}{\rho }{\partial }_{\rho }(\rho {\partial }_{\rho }f)+\frac{1}{{\rho }^2}{\partial }_{\phi }^{2}f+{\partial }_z^{2}f$

2.2 Kugelkoordinaten $(r,\theta ,\varphi )$

• Gradient:
  $\nabla f={\partial }_{r}f{\hat{e}}_r+\frac{1}{r}{\partial }_{\theta }f{\hat{e}}_{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }{\partial }_{\varphi }f{\hat{e}}_{\varphi }$
• Divergenz:
  $\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{r^2}{\partial }_r(r^2{F}_r)+\frac{1}{r\sin \theta }{\partial }_{\theta }(\sin \theta F_{\theta })+\frac{1}{r\sin \theta }{\partial }_{\varphi }{F}_{\varphi }$
• Laplace-Operator (Skalar):
  ${\nabla }^{2}f=\frac{1}{r^2}{\partial }_r(r^2{\partial }_{r}f)+\frac{1}{r^2\sin \theta }{\partial }_{\theta }(\sin \theta {\partial }_{\theta }f)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }{\partial }_{\varphi }^{2}f$

Diese Formen sind essenziell für Randwertprobleme (Elektrostatik) und Multipolentwicklung (Elektrostatik).

2.3 Radialer Fall: Ableitung von $1/R$ und Laplace auf $f(r)$

Fast jede Rechnung der Elektrostatik hängt an einem einzigen Abstand $R=|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|$. Zwei Ableitungen davon braucht man immer wieder – und beide folgen aus einer einzigen Kettenregel.

Der Baustein ${\partial }_{i}R=x_i/R$

Mit $\mathbf{r}=(x,y,z)$, ${\mathbf{r}}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ und $R=\sqrt{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2}$:

$$\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{\dots }}\cdot 2(x-x^{\prime })=\frac{x-x^{\prime }}{R}.$$

Allgemein, für jede Koordinate $i$:

$$\frac{\partial R}{\partial x_i}=\frac{x_i-x_i^{\prime }}{R},\text{bzw.}{\nabla }_{\mathbf{r}}R=\frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{R}=\hat{\mathbf{R}}.$$

Merke

Ableitung des Abstands nach einer Koordinate ergibt die Koordinatendifferenz geteilt durch den Abstand. Mehr steckt nicht dahinter – die Wurzel fällt weg, weil sie sich gegen den Faktor $2$ aus der Quadratregel kürzt. Damit ist jede weitere Ableitung von $1/R$, $R^n$ oder $\ln R$ reine Kettenregel.

Gradient von $1/R$

Beide Faktoren der Kettenregel zusammengesetzt ($\frac{\partial }{\partial x}{R}^{-1}=-R^{-2}{\partial }_{x}R$):

$${\nabla }_{\mathbf{r}}\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}=-\frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}=-\frac{\hat{\mathbf{R}}}{R^2}.$$

Im Zähler steht der volle Abstandsvektor, nicht der Einheitsvektor – deshalb die $3$ im Nenner, die sich gegen den Betrag im Zähler wegkürzt:

$$\frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}=\frac{\hat{\mathbf{R}}}{R^2}.$$

Damit wird aus $\mathbf{E}=-\nabla \varphi$ mit dem Coulomb-Integral sofort

$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\int \rho ({\mathbf{r}}^{\prime })\frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}{d}^3{r}^{\prime },$$

also genau der $1/R^2$-Abfall des Coulomb-Gesetzes.

Warum $\nabla$ unter das Integral darf

Im Coulomb-Integral ist ${\mathbf{r}}^{\prime }$ die Integrationsvariable (Ort der Ladung), $\mathbf{r}$ der Aufpunkt (Ort der Messung). Der Operator $\nabla ={\nabla }_{\mathbf{r}}$ leitet nur nach $\mathbf{r}$ ab, $\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })$ hängt gar nicht von $\mathbf{r}$ ab. Da die Integrationsgrenzen fest sind, gilt

$${\nabla }_{\mathbf{r}}\int f(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }=\int {\nabla }_{\mathbf{r}}f(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime },$$

und der Nabla-Operator wirkt allein auf den Abstandsterm $1/|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|$.

Laplace auf radialsymmetrische Funktionen

Für $f=f(r)$ (nur vom Abstand von der $z$-Achse bzw. vom Ursprung abhängig) fallen die Winkelterme weg. Aus dem Kugel-Laplace-Operator oben folgt mit der Produktregel

$${\nabla }^{2}f(r)=\frac{1}{r^2}{\partial }_r\left(r^2{f}^{\prime }(r)\right)=f^{\prime \prime }(r)+\frac{2}{r}{f}^{\prime }(r).$$

Das $2/r$ ist kein Zufall, sondern die logarithmische Ableitung der Kugeloberfläche $4\pi r^2$: Ein konstantes radiales Feld hat schon Divergenz $2/r$, weil durch die größere Kugelschale hinten mehr Fluss austritt als vorne eintritt. Kurzform zum Nachrechnen:

$${\nabla }^{2}f(r)=\frac{1}{r}\frac{d^2}{d{r}^2}(rf(r)).$$

Für $f=1/r$ ergibt beides $0$:

$${\nabla }^2\frac{1}{r}=\frac{2}{r^3}-\frac{2}{r}\cdot \frac{1}{r^2}=0(r\ne 0),$$

und erst das Flussintegral über eine $\epsilon$-Kugel liefert den Anteil im Ursprung (siehe Green-Funktionen (Elektrostatik)).

Dimension	${\nabla }^{2}f$ für $f=f(r)$	Fundamentallösung von ${\nabla }^{2}f=0$
1D	$f^{\prime \prime }$	$|x|$
2D	$f^{\prime \prime }+\frac{1}{r}{f}^{\prime }$	$\ln r$
3D	$f^{\prime \prime }+\frac{2}{r}{f}^{\prime }$	$1/r$

Gauß-System

Die Identität ${\nabla }^2\frac{1}{r}=-4\pi \delta (\mathbf{r})$ ist reine Mathematik und gilt in jedem Einheitensystem. Unterschiedlich ist nur, welche Green-Funktion man darauf aufbaut: SI definiert $G_0=\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$ mit ${\nabla }^2{G}_0=-\delta$, das Gauß-System $G=-\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$ mit $\Delta G=+\delta$ – passend zu $\Delta \varphi =-4\pi \rho$ statt ${\nabla }^2\varphi =-\rho /{\epsilon }_0$. Die Vorlesung im WiSe 26/27 rechnet im Gauß-System; die Vorzeichen von $G$ und $\rho$-Term gehören darum immer paarweise zusammen.

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3. Integralsätze & Volumenelemente

Satz	Formulierung	Anwendung
Divergenzsatz (Gauß)	${\int }_V\nabla \cdot \vec{F}dV={\oint }_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{A}$	Ladungsbilanz, Flussberechnungen
Stokes	${\int }_A(\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{A}={\oint }_{\partial A}\vec{F}\cdot d\vec{r}$	Wirbel, Induktionsgesetz
Gradientensatz	${\int }_{\gamma }\nabla f\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)$	Potentialdifferenzen

Links der Satz von Gauß: Die Quellen in V zeigen sich als Nettofluss durch die geschlossene Fläche ∂V, dA zeigt nach außen. Rechts der Satz von Stokes: Die Wirbel auf der Fläche A ergeben die Zirkulation längs der Randkurve ∂A. Der Umlaufsinn passt nach der Rechte-Hand-Regel zu dA.

Volumenelemente:

• Kartesisch: $dV=dxdydz$
• Zylindrisch: $dV=\rho d\rho d\phi dz$
• Kugel: $dV=r^2\sin \theta drd\theta d\varphi$

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4. Operatoridentitäten (häufig genutzt)

1. $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F})=0$
2. $\nabla \times (\nabla f)=0$
3. $\nabla \times (\nabla \times \vec{F})=\nabla (\nabla \cdot \vec{F})-{\nabla }^2\vec{F}$
4. Produktregeln:
   • $\nabla \cdot (f\vec{F})=(\nabla f)\cdot \vec{F}+f(\nabla \cdot \vec{F})$
   • $\nabla \times (f\vec{F})=(\nabla f)\times \vec{F}+f(\nabla \times \vec{F})$

Helmholtz-Theorem (Kurzverweis)

Siehe Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder) für volle Projektorformeln.

Diese Identitäten tauchen in Elektrostatik (z. B. beim Ableiten der Maxwell-Gleichungen) und in Energie und Kapazität in der Elektrostatik (bei Ableitungen der Feldenergie) auf.

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5. Indexnotation & Symbole

• Kronecker-Delta: ${\delta }_{ij}$ (Identitätstensor).
• Levi-Civita: ${\epsilon }_{ijk}$; nützlich für Kreuzprodukte: $(\vec{A}\times \vec{B}{)}_i={\epsilon }_{ijk}{A}_j{B}_k$.
• Divergenz: ${\partial }_i{F}_i$; Gradient: ${\partial }_{i}f$; Curl: $(\nabla \times \vec{F}{)}_i={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{F}_k$.

Nutze diese Schreibweisen, wenn du Gleichungen aus Lehrbüchern wie Jackson nachvollziehst.

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6. Verweise

• Hauptnotizen: Elektrostatik, Elektrostatik - Lernseite (Grundlagen), Energie und Kapazität in der Elektrostatik
• Anwendungen: Randwertprobleme (Elektrostatik), Multipolentwicklung (Elektrostatik), Dielektrika (Elektrostatik)
• Spezialisierte Guides: Flächen- und Volumenelemente – Leitfaden, Induktivität und magnetische Energie, Magnetostatik - Grundgleichungen

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Schneller Einsatz

• Immer erst Koordinatensystem fixieren; dann passenden Laplace-/Divergenz-/Curl-Operator aus der Tabelle nehmen.
• Für elektrostatische Aufgaben: ${\nabla }^2\varphi =-\rho /{\epsilon }_0$${\nabla }^2\varphi =-4\pi \rho$ notieren, um Rechenweg zu verankern.
• Für magnetostatische Ströme: $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}$$\nabla \times \mathbf{B}=\frac{4\pi }{c}\mathbf{J}$, $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$ als Minimal-Check.