Maxwell-Spannungstensor (Elektrostatik)

Diese Notiz ergänzt Energie und Kapazität in der Elektrostatik um die feldtheoretische Betrachtung von Kräften und Grenzbedingungen. Sie verbindet lokale Energiedichten mit makroskopischen Resultierenden (Druck/Zug auf leitenden und dielektrischen Oberflächen).

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1. Motivation & Kontext

• Ziel: Kräfte im Feldraum ohne explizite Ladungsverteilung berechnen.
• Anwendung: Drücke auf Kondensatorplatten, Kräfte zwischen Leitern, Randbedingungen an dielektrischen Interfaces.
• Bezug: Aus dem Stress-Tensor folgen mechanische Größen konsistent mit der Energie $W=\frac{{\epsilon }_0}{2}\int |\mathbf{E}{|}^2{d}^{3}r$ (siehe Energie und Kapazität in der Elektrostatik).

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2. Definition des Maxwell-Spannungstensors

Für reine Elektrostatik (kein $\mathbf{B}$-Feld):

$$\mathbf{T}={\epsilon }_0\left(\mathbf{EE}-\frac{1}{2}|\mathbf{E}{|}^2\mathbf{I}\right)$$

• $\mathbf{EE}$: dyadisches Produkt mit Komponenten $T_{ij}={\epsilon }_0\left(E_i{E}_j-\frac{1}{2}|\mathbf{E}{|}^2{\delta }_{ij}\right)$.
• $\mathbf{I}$: Einheitsmatrix.

Balance-Gesetz

$$\mathbf{f}=\rho \mathbf{E}=\nabla \cdot \mathbf{T}$$

Mit dem Divergenzsatz ergibt sich für eine geschlossene Oberfläche $\partial V$:

$$\mathbf{F}={\int }_V\rho \mathbf{E}dV={\oint }_{\partial V}\mathbf{T}\cdot \mathbf{n}dA$$

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3. Kräfte auf Oberflächen (Feld-Druck)

3.1 Normal- und Tangentialanteile

Für eine Oberfläche mit Normalenvektor $\mathbf{n}$:

• Normale Spannung: $p_n=\mathbf{n}\cdot \mathbf{T}\cdot \mathbf{n}=\frac{{\epsilon }_0}{2}(E_n^2-E_t^2)$
• Tangentialer Schub: $\mathbf{t}=\mathbf{n}\cdot \mathbf{T}-p_n\mathbf{n}={\epsilon }_0{E}_n{\mathbf{E}}_t$

Hierbei sind $E_n=\mathbf{E}\cdot \mathbf{n}$ und ${\mathbf{E}}_t=\mathbf{E}-E_n\mathbf{n}$.

3.2 Druck auf leitende Flächen

Für perfekte Leiter (innen $\mathbf{E}=0$, nur $E_n\ne 0$ außen):

$$p_{\text{Leiter}}=\frac{{\epsilon }_0}{2}{E}_n^2=\frac{{\sigma }^2}{2{\epsilon }_0}$$

(da $E_n=\sigma /{\epsilon }_0$.)

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4. Grenzbedingungen über die Tensorform

Grenzfläche zweier Medien mit Permittivitäten ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$:

1. Normalanteil des Verschiebungsfeldes: $${\epsilon }_1{E}_{1n}-{\epsilon }_2{E}_{2n}={\sigma }_{\text{frei}}$$
2. Tangentialanteil des Feldes: $${\mathbf{E}}_{1t}={\mathbf{E}}_{2t}$$
3. Stress-Kontinuität: $$\mathbf{n}\cdot ({\mathbf{T}}_1-{\mathbf{T}}_2)={\mathbf{f}}_{\text{Oberfla¨che}}$$

Dabei liefert die Differenz der Tensoren direkt die Oberflächenkraftdichte, z. B. durch freie Oberflächenladungen oder kapazitiv gekoppelte Leiter.

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5. Rechenworkflow (Checkliste)

1. Symmetrie nutzen: wähle eine Gauß-Fläche, die das Feldprofil $\mathbf{E}$ vereinfacht.
2. Tensor aufstellen: berechne $T_{ij}={\epsilon }_0(E_i{E}_j-\frac{1}{2}|\mathbf{E}{|}^2{\delta }_{ij})$.
3. Integrationsfläche wählen: nutze eine Oberfläche $\partial V$, die den Raumabschnitt mit bekannter Feldlösung einschließt.
4. Kraft/Druck berechnen: $\mathbf{F}=\oint \mathbf{T}\cdot \mathbf{n}dA$ oder über die lokale Druckformel.
5. Randbedingungen prüfen: passen Normal- und Tangentialkomponenten zur Materialgrenze? Falls nicht, Feldlösung korrigieren.

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6. Beispiele & Anwendungen

System	Vorgehen	Ergebnis (skizziert)
Plattenkondensator	$\mathbf{E}=\pm \sigma /{\epsilon }_0\hat{\mathbf{n}}$	$p={\sigma }^2/(2{\epsilon }_0)$ Druck auf jede Platte
Geladene Leiterkugel (Ladung $Q$, Radius $R$)	Halbkugel + Kreisscheibe als Fläche, $\mathbf{T}\cdot \mathbf{n}$ integrieren	Kraft, die die Halbkugeln auseinanderdrückt: $F=Q^2/(32\pi {\epsilon }_0{R}^2)$
Dielektrikum zwischen Platten	Feldsprung durch unterschiedliche $\epsilon$	Differenz der Normalspannungen = Druck auf die Grenzfläche (Abschnitt 9.1)

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7. Ressourcen

• Tafelbilder V4 (Elektrostatische Energie, Kapazitäten) und V5 (Maxwell-Spannungstensor, Randbedingungen)
• David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Kap. 2.6
• Jackson, Classical Electrodynamics, Kap. 1.10 & 4
• MIT OCW 8.07 Notes: „Electrostatic Energy and Pressure“

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8. Verlinkungen

• Von hier: Elektrostatik, Energie und Kapazität in der Elektrostatik, Vektoranalysis
• Siehe auch: Randwertprobleme (Elektrostatik), Dielektrika (Elektrostatik), Impulsbilanz und Poynting-Vektor (dynamische Version)

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9. Ergänzungen

9.1 Druck auf dielektrische Grenzfläche

• Zwei Medien ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$, Feld nur normal: $p=\frac{1}{2}({\epsilon }_1{E}_{1n}^2-{\epsilon }_2{E}_{2n}^2)$.
• In Bezug auf Sprung im Verschiebungsfeld: $p=\frac{1}{2{\epsilon }_0}(D_{1n}^2/{\epsilon }_{r1}-D_{2n}^2/{\epsilon }_{r2})$.
• Für Plattenkondensator mit Dielektrikum: stimmt mit Energiedifferenz $\Delta W=-pA\Delta x$ überein.

9.2 Bezug zu Dielektrika

• Siehe 10.1 Teilweise Einschiebung eines Dielektrikums für Kraftformel; dortige Kraft $F$ erfüllt $F=\oint \mathbf{T}\cdot \mathbf{n}dA$ mit $\mathbf{T}$ dieser Notiz.

9.3 Übungsaufgaben (WS 25/26)

• HA 1 (Grundlagen Druck), HA 8 (gemischte RB + Materie), HA 9, Aufg. 27 (Helmholtz/Stress-Bezug bei Feldern).

9.4 Herleitung per Energievariation

• Variation von $W=\frac{{\epsilon }_0}{2}\int |\mathbf{E}{|}^2{d}^{3}r$ unter Verschiebung $\delta \mathbf{r}$ der Oberfläche liefert $\delta W=-\oint (\mathbf{T}\cdot \mathbf{n})\cdot \delta \mathbf{r}dA$.
• Damit ist ${\mathbf{f}}_{\text{Oberfla¨che}}=\mathbf{n}\cdot \mathbf{T}$ konsistent zu Feldkräften $\rho \mathbf{E}$.