Energie und Kapazität in der Elektrostatik

Diese Seite bündelt Formeln, Beispiele und Strategien rund um Feldenergie, Kapazitäten und gekoppelte Leiter. Sie ergänzt Elektrostatik - Lernseite (Grundlagen) und verweist auf weiterführende Themen wie Maxwell-Spannungstensor (Elektrostatik), Randwertprobleme sowie Materialeffekte in Dielektrika (Elektrostatik) und Elektrostatik in Materie.

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1. Feldenergie und Energiedichte

Energiedichte

$$u(\mathbf{r})=\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}(\mathbf{r}){|}^2$$

Gesamtenergie im Volumen $V$

$$W={\int }_{V}u(\mathbf{r})d^{3}r=\frac{{\epsilon }_0}{2}{\int }_V|\mathbf{E}{|}^2{d}^{3}r$$

Potentialdarstellung

$$W=\frac{1}{2}{\int }_V\rho (\mathbf{r})\varphi (\mathbf{r})d^{3}r$$

Wähle die für das Problem passendere Form (Feldintegral vs. Potentialform).

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2. Kapazität einzelner Leiter

Definition

$$C=\frac{Q}{\Phi }$$

Energie eines Kondensators

$$W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{\Phi }^2$$

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3. Kapazitätsmatrix (Mehrleitersysteme)

Für $N$ Leiter mit Potentialen ${\varphi }_i$ und Ladungen $Q_i$:

$$Q_i=\sum _{j=1}^N{C}_{ij}{\varphi }_j$$

• $C_{ii}>0$ (Selbstkapazitäten), $C_{ij}=C_{ji}\le 0$ für $i\ne j$ (Influenzkoeffizienten).
• ${\sum }_j{C}_{ij}\ge 0$; Gleichheit nur, wenn kein Feld nach $\infty$ entweicht (z. B. ein Leiter umschließt alle anderen vollständig).

Matrixform

$$\mathbf{Q}=\mathbf{C}\mathbf{\varphi }$$

Energie

$$W=\frac{1}{2}{\mathbf{\varphi }}^{\top }\mathbf{C}\mathbf{\varphi }=\frac{1}{2}{\mathbf{Q}}^{\top }{\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{Q}$$

Bestimmung von $C_{ij}$

1. Leiter $j$ auf $1\text{V}$, alle anderen auf $0\text{V}$.
2. Poisson-/Laplace-Gleichung lösen (siehe Randwertprobleme (Elektrostatik) bzw. Spiegelmethode (Elektrostatik)).
3. Induzierte Ladungen $Q_i$ über Flussintegrale bestimmen.
4. Für jeden Leiter wiederholen → Spalten von $\mathbf{C}$.

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4. Beispiele

4.1 Isolierte Kugel

• Radius $R$, Ladung $Q$, Referenz $\varphi (\infty )=0$
• Kapazität: $C=4\pi {\epsilon }_{0}R$ (siehe Kugelkondensator für Doppelschale)

$$W=\frac{{\epsilon }_0}{2}{\int }_R^{\infty }{\left(\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\right)}^{2}4\pi r^{2}dr=\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_{0}R}=\frac{Q^2}{2C}$$

4.2 Plattenkondensator (Vakuum)

• Fläche $A$, Abstand $d$, $\sigma =Q/A$

$$C=\frac{{\epsilon }_{0}A}{d},u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2,W=\frac{1}{2}C{\Phi }^2=\frac{1}{2}\frac{{\epsilon }_{0}A}{d}(Ed{)}^2$$

4.3 Koaxialkondensator (Kapazitätsmatrix)

• Innenradius $a$, Außenradius $b$, Länge $L$

Pro Längeneinheit; der Außenleiter schirmt ab, seine Kapazität gegen $\infty$ wird vernachlässigt ($\Phi$ = Spannung zwischen den Leitern):

$$C^{\prime }=\frac{2\pi {\epsilon }_0}{\ln (b/a)},\mathbf{C}=C^{\prime }\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right),W^{\prime }=\frac{1}{2}{C}^{\prime }{\Phi }^2$$

4.4 Zylinderkondensator (einfach)

• Innenradius $a$, Außenradius $b$, Länge $L$, homogenes Medium $\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$.
• Feld (Gauss):

$$E(r)=\frac{\lambda }{2\pi \epsilon r},a<r<b.$$

• Potential (Bezug $\varphi (b)=0$):

$$\varphi (r)=\frac{\lambda }{2\pi \epsilon }\ln \frac{b}{r}.$$

• Spannung und Kapazität:

$$V=\frac{\lambda }{2\pi \epsilon }\ln \frac{b}{a},C=\frac{2\pi \epsilon L}{\ln (b/a)}.$$

• Spezial: Luft/Vakuum ${\epsilon }_r=1$; dünnwandig $b\to a$: $C\approx 2\pi \epsilon aL/(b-a)$ (wegen $\ln (b/a)\approx (b-a)/a$; entspricht $\epsilon A/d$ mit $A=2\pi aL$).
• Ausführliche Herleitung: Zylinderkondensator.

4.5 Kugelkondensator

• Radien $R_1<R_2$, homogenes Medium $\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$.
• Potential (Bezug $\varphi (R_2)=0$):

$$\varphi (r)=\frac{Q}{4\pi \epsilon }(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}),R_1<r<R_2.$$

• Spannung und Kapazität:

$$V=\frac{Q}{4\pi \epsilon }(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}),C=\frac{4\pi \epsilon }{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}}.$$

• Spezial: isolierte Kugel ($R_2\to \infty$): $C=4\pi \epsilon R_1$; dünne Schale $R_2\to R_1$: $C\approx 4\pi \epsilon R_1^2/(R_2-R_1)$.
• Ausführliche Herleitung: Kugelkondensator.

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5. Dielektrika & effektive Kapazitäten

5.1 Homogene Dielektrika

$$\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r,C=\epsilon \frac{A}{d}$$

5.2 Mehrschichtsysteme

• Serie: $d_{\text{eff}}/{\epsilon }_{\text{eff}}={\sum }_i{d}_i/{\epsilon }_i$
• Parallel: ${\epsilon }_{\text{eff}}{A}_{\text{eff}}={\sum }_i{\epsilon }_i{A}_i$

5.3 Polarisation & Energie

$$\mathbf{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\mathbf{E},\mathbf{D}={\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P}=\epsilon \mathbf{E},u=\frac{1}{2}\mathbf{E}\cdot \mathbf{D}$$

Siehe Dielektrika (Elektrostatik) und Elektrostatik in Materie; Randbedingungen in Randwertprobleme (Elektrostatik).

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6. Methodische Hinweise

1. Symmetrie analysieren → geeignete Gauß-Fläche.
2. Feld/Potential lösen (Separation, Spiegel, numerisch).
3. Kapazität aus $Q/\Phi$ oder Energieformeln.
4. Matrixaufbau durch wiederholte RB-Lösungen.
5. Validierung über Grenzfälle und Energieerhaltung.

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7. Ressourcen

• Tafelbilder: V4 Energie & Kapazitäten · V5 Spannungstensor · V6 Randwertprobleme
• Literatur: Griffiths Kap. 2–3 · Jackson Kap. 2 · MIT OCW 8.07 (Electrostatic Energy & Dielectrics)

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8. Ergänzungen

8.1 Beispiel: Maxwell-Spannungstensor (Plattenkondensator)

• Feld: $E=\sigma /{\epsilon }_0$ außerhalb Dielektrika, Druck auf Platte $p={\sigma }^2/(2{\epsilon }_0)$.
• Kraft auf Fläche $A$: $F=pA$; identisch mit Energieänderung $\Delta W=-F\Delta x$ beim Plattenabstand.
• Verbindung: siehe 9.1 Druck auf dielektrische Grenzfläche.

8.2 Ladungsrelaxation in leitfähigen Medien

• Aus $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$ (hier $\sigma$ = Leitfähigkeit) und Kontinuitätsgleichung: ${\partial }_t\rho =-\frac{\sigma }{\epsilon }\rho$, also $Q(t)=Q_0{e}^{-t/\tau }$ mit $\tau =\epsilon /\sigma$.
• Energieabfall: $W(t)=W_0{e}^{-2t/\tau }$ (da $W\propto Q^2$); konsistent zu $\dot{W}=-\int \mathbf{J}\cdot \mathbf{E}{d}^{3}r$.
• Nicht verwechseln mit der Entelektrisierung (Depolarisationsfeld), siehe 5. Entelektrisierung (Depolarisationsfeld).

8.3 Übungen (WS 25/26)

• HA 1 (Grundlagen, Kugel/Platte), HA 8 (gemischte RB), HA 9, Aufg. 27 (Helmholtz/Energiefluss).