Konzentrische Kugelschalen mit Radien R 1 < R 2 ε = ε 0 ε r ε ε = 1
Feld und Potential (Herleitung)
Gauss-Fläche
Kugelradius r R 1 < r < R 2
Gauss: ∮ E ⋅ d A = E r ( r ) ( 4 π r 2 ) = Q / ε ∮ E ⋅ d A = E r ( r ) ( 4 π r 2 ) = 4 \piQ / ε
Daraus
E r ( r ) = 4 π ε r 2 Q , R 1 < r < R 2 .
E r ( r ) = ε r 2 Q , R 1 < r < R 2 .
Das Feld zeigt radial von der inneren Kugel (+Q) zur äußeren Schale (−Q). Die Gauß-Kugel mit Radius r schließt nur +Q ein, deshalb fällt E_r zwischen R₁ und R₂ wie 1/r² ab und ist außerhalb null. Potential
ϕ ( r ) − ϕ ( R 2 ) = − ∫ R 2 r E r ( r ′ ) d r ′ = − 4 π ε Q ∫ R 2 r r ′2 d r ′ = 4 π ε Q ( r 1 − R 2 1 ) .
ϕ ( r ) − ϕ ( R 2 ) = − ∫ R 2 r E r ( r ′ ) d r ′ = − ε Q ∫ R 2 r r ′2 d r ′ = ε Q ( r 1 − R 2 1 ) .
Setze Bezug ϕ ( R 2 ) = 0
ϕ ( r ) = 4 π ε Q ( r 1 − R 2 1 ) .
ϕ ( r ) = ε Q ( r 1 − R 2 1 ) .
Spannung und Kapazität
V = ϕ ( R 1 ) − ϕ ( R 2 ) = 4 π ε Q ( R 1 1 − R 2 1 ) , C = V Q = R 1 1 − R 2 1 4 π ε .
V = ϕ ( R 1 ) − ϕ ( R 2 ) = ε Q ( R 1 1 − R 2 1 ) , C = V Q = R 1 1 − R 2 1 ε .
Spezialfälle / Grenzwerte
Isolierte Kugel (R 2 → ∞ C = 4 π ε R 1 C = ε R 1
Dünne Schale R 2 → R 1 C ≈ 4 π ε R 1 2 / ( R 2 − R 1 ) C ≈ ε R 1 2 / ( R 2 − R 1 )
Energie
Energiedichte u = 2 1 ε E 2 u = 8 π 1 ε E 2 R 1 < r < R 2
W = ∫ R 1 R 2 4 π r 2 d r 2 ε ( 4 π ε r 2 Q ) 2 = 8 π ε Q 2 ( R 1 1 − R 2 1 ) = 2 1 C V 2 .
W = ∫ R 1 R 2 4 π r 2 d r 8 π ε ( ε r 2 Q ) 2 = 2 ε Q 2 ( R 1 1 − R 2 1 ) = 2 1 C V 2 .
Allgemeine Laplace-Lösung (kugelsymmetrisch): ϕ ( r ) = A + B / r
Randwerte ϕ ( R 1 ) = V 1 ϕ ( R 2 ) = V 2 A , B V = V 1 − V 2
Material/Dielektrikum (kurz)
Homogen: ersetze ε 0 durch ε = ε 0 ε r Vakuumformel mit ε = 1 , im Medium ε einsetzen
Mehrschicht (radial): setze D r = ε ( r ) E r U = ∫ R 1 R 2 E ( r ) d r Q = 4 π r 2 D r Q = r 2 D r C = Q / V
Siehe auch