Kugelkondensator

Konzentrische Kugelschalen mit Radien $R_{1} < R_{2}$ , homogenes Medium $ε = ε_{0} ε_{r}$ . Symmetrie: kugelsymmetrisch, nur radiale Abhängigkeit.

Feld und Potential (Herleitung)

Daraus

E_{r} (r) = \frac{Q}{4 π ε r ^{2}}, R_{1} < r < R_{2} .

ϕ (r) - ϕ (R_{2}) = - \int_{R_{2}}^{r} E_{r} (r^{'}) d r^{'} = - \frac{Q}{4 π ε} \int_{R_{2}}^{r} \frac{d r ^{'}}{r ^{'2}} = \frac{Q}{4 π ε} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R _{2}}) .

Setze Bezug $ϕ (R_{2}) = 0$ :

ϕ (r) = \frac{Q}{4 π ε} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R _{2}}) .

V = ϕ (R_{1}) - ϕ (R_{2}) = \frac{Q}{4 π ε} (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}), C = \frac{Q}{V} = \frac{4 π ε}{\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}} .

Isolierte Kugel ( $R_{2} \to \infty$ ): $C = 4 π ε R_{1}$ .
Dünne Schale $R_{2} \to R_{1}$ : $C \approx 4 π ε R_{1}^{2} / (R_{2} - R_{1})$ .

Energiedichte $u = \frac{1}{2} ε E^{2}$ . Gesamtenergie im Bereich $R_{1} < r < R_{2}$ :

W = \int_{R_{1}}^{R_{2}} 4 π r^{2} d r \frac{ε}{2} (\frac{Q}{4 π ε r ^{2}})^{2} = \frac{Q ^{2}}{8 π ε} (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = \frac{1}{2} C V^{2} .

Allgemeine Laplace-Lösung (kugelsymmetrisch): $ϕ (r) = A + B / r$ .
Randwerte $ϕ (R_{1}) = V_{1}$ , $ϕ (R_{2}) = V_{2}$ liefern $A, B$ ; obige Formeln folgen bei $V = V_{1} - V_{2}$ .

Homogen: ersetze $ε_{0}$ durch $ε = ε_{0} ε_{r}$ .
Mehrschicht (radial): setze $D_{r} = ε (r) E_{r}$ , integriere $U = \int_{R_{1}}^{R_{2}} E (r) d r$ und nutze $Q = 4 π r^{2} D_{r}$ → $C = Q / V$ .