Zylinderkondensator (Koaxialkondensator)

Koaxialer Kondensator mit Innenradius $a$, Außenradius $b$, Länge $L$, homogenes Medium $\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$$\epsilon$ (im Gauß-System dimensionslos, Vakuum $\epsilon =1$). Symmetrie: zylindrisch, Felder nur radial.

Feld und Potential (Herleitung)

Gauss-Fläche

• Wähle Zylinderfläche Radius $r$, Länge $L$, mit $a<r<b$.
• Gauss: $\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)(2\pi rL)=Q_{\text{eing}}/\epsilon =\lambda L/\epsilon$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)(2\pi rL)=4{\text{piQ}}_{\text{eing}}/\epsilon =4\pi \lambda L/\epsilon$.

Daraus

$$E(r)=\frac{\lambda }{2\pi \epsilon r},a<r<b.$$

$$E(r)=\frac{2\lambda }{\epsilon r},a<r<b.$$

Das Feld steht senkrecht auf der Achse und durchsetzt nur den Mantel des Gauß-Zylinders (Radius r, Länge L), nicht die Deckel. Daraus folgt E(r) ∝ λ/r zwischen a und b, außen ist E = 0.

Potential

$$\varphi (r)-\varphi (b)=-{\int }_b^{r}E(r^{\prime })d{r}^{\prime }=-\frac{\lambda }{2\pi \epsilon }{\int }_b^r\frac{d{r}^{\prime }}{r^{\prime }}=\frac{\lambda }{2\pi \epsilon }\ln \frac{b}{r}.$$

$$\varphi (r)-\varphi (b)=-{\int }_b^{r}E(r^{\prime })d{r}^{\prime }=-\frac{2\lambda }{\epsilon }{\int }_b^r\frac{d{r}^{\prime }}{r^{\prime }}=\frac{2\lambda }{\epsilon }\ln \frac{b}{r}.$$

Setze Bezug $\varphi (b)=0$:

$$\varphi (r)=\frac{\lambda }{2\pi \epsilon }\ln \frac{b}{r}.$$

$$\varphi (r)=\frac{2\lambda }{\epsilon }\ln \frac{b}{r}.$$

Spannung und Kapazität

$$V=\varphi (a)-\varphi (b)=\frac{\lambda }{2\pi \epsilon }\ln \frac{b}{a},C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi \epsilon L}{\ln (b/a)}.$$

$$V=\varphi (a)-\varphi (b)=\frac{2\lambda }{\epsilon }\ln \frac{b}{a},C=\frac{Q}{V}=\frac{\epsilon L}{2\ln (b/a)}.$$

Spezialfälle / Grenzwerte

• Luft/Vakuum: ${\epsilon }_r=1$$\epsilon =1$.
• Dünnwandig $b\to a$: $C\approx 2\pi \epsilon aL/(b-a)$$C\approx \epsilon aL/(2(b-a))$ (linearisierter Logarithmus $\ln (b/a)\approx (b-a)/a$; entspricht $\epsilon A/d$$\epsilon A/(4\pi d)$).
• Pro Längeneinheit: $C^{\prime }=C/L=2\pi \epsilon /\ln (b/a)$$C^{\prime }=C/L=\epsilon /(2\ln (b/a))$.

Energie

Energiedichte $u=\frac{1}{2}\mathbf{E}\cdot \mathbf{D}=\frac{1}{2}\epsilon E^2$$u=\frac{1}{8\pi }\mathbf{E}\cdot \mathbf{D}=\frac{1}{8\pi }\epsilon E^2$. Gesamtenergie im Volumen $a<r<b$:

$$W={\int }_0^{L}dz{\int }_a^{b}2\pi rdr\frac{\epsilon }{2}{\left(\frac{\lambda }{2\pi \epsilon r}\right)}^2=\frac{{\lambda }^{2}L}{4\pi \epsilon }\ln \frac{b}{a}.$$

$$W={\int }_0^{L}dz{\int }_a^{b}2\pi rdr\frac{\epsilon }{8\pi }{\left(\frac{2\lambda }{\epsilon r}\right)}^2=\frac{{\lambda }^{2}L}{\epsilon }\ln \frac{b}{a}.$$

Vergleiche mit $W=\frac{1}{2}C{V}^2$: identisches Resultat.

Material/Dielektrikum (kurz)

• Homogen: $\text{ersetze }{\epsilon }_0\text{ durch }\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r\text{ in allen Formeln}$$\text{Vakuumformel mit }\epsilon =1\text{, im Medium }\epsilon \text{ einsetzen}$.
• Radial inhomogen: $D_r=\epsilon (r)E_r$, dann $U={\int }_a^{b}E(r)dr$ → $\lambda =2\pi ({\int }_a^b\frac{dr}{\epsilon (r)r}{)}^{-1}V$$\lambda =\frac{1}{2}({\int }_a^b\frac{dr}{\epsilon (r)r}{)}^{-1}V$ → $C=\lambda L/V$.

Siehe auch

• Energie und Kapazität in der Elektrostatik
• Elektrostatik - Lernseite (Grundlagen)
• Randwertprobleme (Elektrostatik)
• Dielektrika (Elektrostatik)