Legendre-Ansatz und Grenzflächen

Kurze Merkseite für axialsymmetrische Lösungen von Laplace/Poisson in Kugelkoordinaten und die passenden Grenzflächenbedingungen. Anschluss an Randwertprobleme (Elektrostatik), Dielektrika (Elektrostatik), Multipolentwicklung (Elektrostatik).

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0. Idee und Kontext

Der Legendre-Ansatz zerlegt jedes axialsymmetrische Potential in Kugelkoordinaten in Moden $P_{\ell }(\cos \theta )$. Er nutzt, dass die Winkelabhängigkeit der Laplace-Gleichung auf die Legendre-Polynome führt, wenn keine $\phi$-Abhängigkeit vorliegt. Damit wird das 3D-Problem auf radiale Koeffizienten $A_{\ell }$, $B_{\ell }$ reduziert.

Voraussetzungen

• Keine $\phi$-Abhängigkeit (Rotation um die $z$-Achse).
• Laplace/Poisson in Kugelkoordinaten; Ladungen höchstens stückweise radial oder als Effekt in RB.

Typische Anwendungen

• Kugel im äußeren Feld, eingeschlossene Kugel, Mehrschicht-Kugeln.
• Außenfeld weit weg: Abklingen verlangt $B_{\ell }$-Terme allein; Innenfeld regulär: nur $A_{\ell }$-Terme.

1. Legendre-Ansatz (axialsymmetrisch)

$$\Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }{r}^{\ell }+\frac{B_{\ell }}{r^{\ell +1}}\right)P_{\ell }(\cos \theta )$$

• Nur $P_{\ell }(\cos \theta )$, weil keine $\phi$-Abhängigkeit.
• Innenraum: setze $B_{\ell }=0$ (keine Singularität bei $r=0$); Außenraum: setze $A_{\ell }=0$, falls $\Phi \to 0$ für $r\to \infty$.
• Symmetrie filtert Terme: konstantes Feld $\Rightarrow$ meist nur $\ell =1$; reine Verschiebungspotentiale oft $\ell =0$.
• Feldkomponenten: $\mathbf{E}=-\nabla \Phi$, also $E_r=-{\partial }_r\Phi$, $E_{\theta }=-(1/r){\partial }_{\theta }\Phi$.
• Workflow: (1) Ansatz innen/außen, (2) RB an $r=a$, (3) Koeffizienten lösen, (4) Felder ableiten.

2. Grenzflächenformeln (Elektrostatik)

• Potential stetig: ${\Phi }_{\text{in}}(a,\theta )={\Phi }_{\text{out}}(a,\theta )$.
• Normalanteil von $\mathbf{D}$: $({\mathbf{D}}_{\text{out}}-{\mathbf{D}}_{\text{in}})\cdot \hat{n}={\sigma }_f$.
• Tangentialanteil von $\mathbf{E}$: $({\mathbf{E}}_{\text{out}}-{\mathbf{E}}_{\text{in}})\times \hat{n}=0$ $\Rightarrow$ $E_{\parallel }$ stetig.
• Linear isotrop: $\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}$ $\Rightarrow$ ${\epsilon }_{\text{out}}{E}_{\perp ,\text{out}}-{\epsilon }_{\text{in}}{E}_{\perp ,\text{in}}={\sigma }_f$.
• Leitergrenze: $E_{\parallel }=0$, $\Phi =\text{konstant}$ auf der Oberfläche; $E_{\perp }={\sigma }_f/{\epsilon }_0$ außerhalb.

Bedeutung der Größen

• ${\sigma }_f$: freie Flächenladung (keine gebundene).
• $E_{\perp }$, $E_{\parallel }$: Komponenten senkrecht bzw. tangential zur Grenzfläche.
• ${\epsilon }_{\text{in/out}}$: Permittivität der angrenzenden Medien.
• $\hat{n}$: Einheitsnormale, zeigt von „innen“ nach „außen“ (konventionsabhängig, aber konsistent nutzen).

3. Schnellrezept: Dielektrische Kugel im äußeren Feld

Nur $\ell =1$ relevant. Äußeres Feld $E_0\hat{z}$, Kugelradius $a$:

• Ansatz: ${\Phi }_{\text{out}}=-E_{0}r\cos \theta +B_1\cos \theta /r^2$, ${\Phi }_{\text{in}}=A_{1}r\cos \theta$.
• RB bei $r=a$: (1) Stetigkeit von $\Phi$, (2) Sprungbedingung für $D_{\perp }$ mit ${\sigma }_f=0$.
• Koeffizienten: $A_1=-\frac{3{\epsilon }_{\text{out}}}{{\epsilon }_{\text{in}}+2{\epsilon }_{\text{out}}}{E}_0$ (Innenfeld homogen, ${\mathbf{E}}_{\text{in}}=-A_1\hat{z}$), $B_1=a^3{E}_0\frac{{\epsilon }_{\text{in}}-{\epsilon }_{\text{out}}}{{\epsilon }_{\text{in}}+2{\epsilon }_{\text{out}}}$.
• Induziertes Dipolmoment (definiert über ${\Phi }_{\text{Dipol}}=p\cos \theta /(4\pi {\epsilon }_{\text{out}}{r}^2)$): $p=4\pi {\epsilon }_{\text{out}}{a}^3{E}_0\frac{{\epsilon }_{\text{in}}-{\epsilon }_{\text{out}}}{{\epsilon }_{\text{in}}+2{\epsilon }_{\text{out}}}$.

Leseschlüssel

• $A_1$: Innenfeld-Proportionalität (skaliert $E_0$ im Medium innen).
• $B_1$: Stärke des äußeren Dipolanteils (Abklingen wie $1/r^2$ im Potential).
• $p$: effektiver Dipolmoment der Kugel; prüfe Grenzfälle ${\epsilon }_{\text{in}}\to {\epsilon }_{\text{out}}$ (verschwindet) und Leiterlimit ${\epsilon }_{\text{in}}\to \infty$.

4. Kurzcheck Workflow (RB-Matching)

1. Geometrie und Symmetrie fixieren; geeignete Koordinaten wählen.
2. Ansatz innen/außen mit passenden Summanden (Singularitäten vermeiden, Abfall im Unendlichen erzwingen).
3. RB auf $\Phi$, $E_{\parallel }$, $D_{\perp }$ anwenden; ggf. freie Flächenladung ${\sigma }_f$ beachten.
4. Koeffizienten lösen, dann $\mathbf{E}=-\nabla \Phi$ ableiten und Plausibilität (Grenzfälle) prüfen.

5. Herleitung und Beispiele (aus Coulomb-Expansions)

5.1 Generierende Funktion und Multipolentwicklung

Die Coulomb-Potentialentwicklung liefert direkt die Legendre-Reihe (Winkel $\gamma$ zwischen $\mathbf{r}$ und ${\mathbf{r}}^{\prime }$):

$$\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}=\frac{1}{r_{>}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(\frac{r_{<}}{r_{>}}\right)}^{\ell }{P}_{\ell }(\cos \gamma ),r_{>}\equiv \max (r,r^{\prime }),r_{<}\equiv \min (r,r^{\prime }).$$

• Dieser Ausdruck erzeugt das Potential jeder räumlich begrenzten Ladungsverteilung als Summe von Moden $P_{\ell }$; es ist zugleich die generierende Funktion der Legendre-Polynome.
• Orthogonalität liefert Koeffizienten auf einer Kugeloberfläche $r=a$ (Dirichlet-RB):

$$B_{\ell }=a^{\ell +1}\frac{2\ell +1}{2}{\int }_{-1}^{1}V(a,\mu )P_{\ell }(\mu )\mathrm{d}\mu ,\mu \equiv \cos \theta ,$$

wobei $\Phi (r,\theta )={\sum }_{\ell \ge 0}{B}_{\ell }{P}_{\ell }(\cos \theta )/r^{\ell +1}$ für ein außen abklingendes Potential. Für ein Innenproblem (regulär bei $r=0$) analog mit $A_{\ell }$ und Faktor $r^{\ell }$.

5.2 Leitende Kugel im homogenen Feld (Ableitung auf Aufgaben-Niveau)

• Ansatz (außen nur abklingend, innen regulär, Symmetrie $\Rightarrow$ nur $\ell =1$):

$${\Phi }_{\text{out}}=-E_{0}r\cos \theta +\frac{B_1\cos \theta }{r^2},{\Phi }_{\text{in}}=A_{1}r\cos \theta .$$

• RB bei $r=a$: Die Kugel ist ein Leiter (Äquipotentialfläche). Neutral bzw. geerdet: $\Phi (a,\theta )=0$ für alle $\theta$. Im Inneren ist ${\mathbf{E}}_{\text{in}}=0$, also $A_1=0$.
• Gleichung: $-E_{0}a+B_1/a^2=0\Rightarrow B_1=E_0{a}^3$, d. h. induziertes Dipolmoment $p=4\pi {\epsilon }_0{a}^3{E}_0$.
• Felder außen: $E_r=E_0\cos \theta \left(1+2a^3/r^3\right)$, $E_{\theta }=-E_0\sin \theta \left(1-a^3/r^3\right)$; an der Oberfläche steht $\mathbf{E}$ senkrecht ($E_{\theta }(a)=0$).
• Influenzladung: $\sigma (\theta )={\epsilon }_0{E}_r(a,\theta )=3{\epsilon }_0{E}_0\cos \theta$ (Gesamtladung $0$).
• Check: Das ist der Grenzfall ${\epsilon }_{\text{in}}\to \infty$ der dielektrischen Kugel aus Abschnitt 3.
• Intuition: Nur $\ell =1$ bleibt, weil das entfernte Feld wie ein Dipolterm $\propto P_1$ aussieht; höhere $\ell$ würden die Fernbedingung verletzen.

5.3 Geladener Ring (Außenpotential, nur even $\ell$)

Geladener Ring mit Radius $a$ in der Ebene $\theta =\pi /2$, Gesamtladung $q$, Beobachtungspunkt mit $r>a$:

$$\Phi (r,\theta )=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}\sum _{s=0}^{\infty }(-1{)}^s\frac{(2s)!}{2^{2s}(s!{)}^2}{\left(\frac{a}{r}\right)}^{2s}{P}_{2s}(\cos \theta ).$$

• Nur gerade $\ell =2s$ treten auf, weil die Ladungsverteilung unter $\theta \to \pi -\theta$ unverändert bleibt.
• Für Punkte auf der Achse ($\theta =0$) kollabiert die Reihe zur bekannten Achsenform $\Phi =q/(4\pi {\epsilon }_0\sqrt{z^2+a^2})$.
• Praktischer Tipp: Für Ringe/Disks schnell prüfen, ob das Vorzeichen unter Spiegelung wechselt ($\Rightarrow$ nur ungerade $\ell$) oder nicht ($\Rightarrow$ nur gerade $\ell$).

6. Verweise

• Randbedingungen und PDE-Schritte: Randwertprobleme (Elektrostatik).
• Materialbezug und $\mathbf{D}$/$\mathbf{P}$: Dielektrika (Elektrostatik).
• Multipol-Sicht und Potentialentwicklung: Multipolentwicklung (Elektrostatik).
• Kugel- und Zylindergeometrien: Kugelkondensator, Zylinderkondensator.
• Allgemeine Feldgrößen: Elektrostatik.