Elektrostatik – Lernseite (Grundlagen)

1. Coulomb-Gesetz

Frage: Was beschreibt das Coulomb-Gesetz?

Zwei Punktladungen $q_1$, $q_2$ im Abstand $r=|{\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2|$ üben die Kraft

$${\mathbf{F}}_{12}=k_{\text{e}}\frac{q_1{q}_2}{r^2}\hat{\mathbf{r}},k_{\text{e}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$$

aufeinander aus. Die Richtung zeigt entlang der Verbindungsachse.

Verknüpfungen: Elektrostatik · Vektoranalysis · Weiteres Beispiel siehe Energie und Kapazität in der Elektrostatik.

Konstanten:

$$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=k_{\text{e}}\approx 8,988\cdot 10^9\frac{{\text{N m}}^2}{{\text{C}}^2}$$

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2. Elektrisches Feld

Definition: Kraft pro Probeladung

$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{F}}{q}$$

Für eine Punktladung $Q$ gilt

$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$$

Hinweis: Für Randbedingungen und Kraftdichten siehe Maxwell-Spannungstensor (Elektrostatik) und Randwertprobleme (Elektrostatik).

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3. Superpositionsprinzip

Für Punktladungen $Q_i$:

$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum _i\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_i}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_i{|}^2}\widehat{(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_i)}$$

Für kontinuierliche Ladungsverteilungen:

• Volumenladung $\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })$ $$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_V\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })\frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}{d}^3{r}^{\prime }$$
• Oberflächenladung $\sigma ({\mathbf{r}}^{\prime })$ $$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_A\sigma ({\mathbf{r}}^{\prime })\frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}d{A}^{\prime }$$

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4. Gaußsches Gesetz

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},{\oint }_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{in}}}{{\epsilon }_0}$$

Symmetrie-Check (Faustregel vor jedem Gauß-Integral)

• Bestimme die Isotropie: Kugel (Punktladung), Zylinder (Linienladung), Ebene (Flächenladung).
• Wähle Gauß-Fläche: Kugel → $4\pi r^2$; Zylinder → $2\pi rL$ (Deckel einbeziehen, falls Feld normal); Pillenbox bei Platten → $2A$.
• Normalen: nach außen gerichtet; Deckel entgegengesetzt orientiert.
• Integral vereinfachen: Bei konstanter Feldstärke auf der Fläche wird $\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E\cdot (\text{Fla¨che})$.
• Enclosed charge: Volumen mit $\rho$, Fläche mit $\sigma$, Linie mit $\lambda$.
• Abschließend: $E$ aus $\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{in}}/{\epsilon }_0$, Richtung aus Symmetrie.

Typische Flächenmaße (bei konstanter Feldstärke)

• Kugelschale Radius $r$: Fläche $4\pi r^2$.
• Zylinder-Seitenfläche (Radius $r$, Länge $L$): Fläche $2\pi rL$.
• Pillenbox bei Platten (Fläche $A$ je Deckel): Beitrag $2A$, wenn Feld auf beiden Seiten gleich groß.
• Ringfläche auf Kugel/Zylinder (für Teilflüsse): $dA=r^2\sin \theta d\theta d\varphi$ (Kugel), $dA=rd\varphi dz$ (Zylinder).

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5. Elektrisches Potential

$$\mathbf{E}=-\nabla \varphi$$

• Punktladung: $$\varphi (\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r}$$
• Kontinuierliche Ladung: $$\varphi (\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_V\frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$$

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6. Poisson- und Laplace-Gleichung

Allgemeine Form:

$${\nabla }^2\varphi (\mathbf{r})=-\frac{\rho (\mathbf{r})}{{\epsilon }_0}$$

Ladungsfreie Gebiete ($\rho =0$) → Laplace-Gleichung ${\nabla }^2\varphi =0$. Lösung eindeutig bei gegebenen Randbedingungen (Eindeutigkeitssatz).

Typische Randbedingungen

• Dirichlet: $\varphi {|}_{\partial V}={\varphi }_0$
• Neumann: $(\mathbf{n}\cdot \nabla \varphi ){|}_{\partial V}=g$
• Gemischt: Kombination aus beiden; an Materialgrenzen zusätzlich
  ${\epsilon }_1({\mathbf{E}}_1\cdot \mathbf{n})-{\epsilon }_2({\mathbf{E}}_2\cdot \mathbf{n})={\sigma }_{\text{frei}}$ und $\mathbf{n}\times ({\mathbf{E}}_1-{\mathbf{E}}_2)=0$

Strategien: Variablentrennung in Zylinderkoordinaten/Kugelkoordinaten, Randwertprobleme (Elektrostatik), Multipolentwicklung (Elektrostatik), Spiegelmethode (Elektrostatik).

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7. Beispiel – Unendlich lange Linienladung

Linienladung $\lambda$ entlang der $z$-Achse:

1. Symmetrie → $\mathbf{E}(r)=E(r)\hat{\mathbf{r}}$
2. Gauß-Fläche: Zylinder Radius $r$, Länge $L$
3. Gaußsches Gesetz:

$$E(r)(2\pi rL)=\frac{\lambda L}{{\epsilon }_0}$$

4. Lösung:

$$E(r)=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$$

5. Richtung:

$$\mathbf{E}(r)=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\hat{\mathbf{r}}$$

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Verweise & Ressourcen

• Weiterführend: Energie und Kapazität in der Elektrostatik
• Vertiefung: Randwertprobleme (Elektrostatik), Spiegelmethode (Elektrostatik), Multipolentwicklung (Elektrostatik)
• Tafelbilder: V3 (Coulomb, Feldgleichung) · V5 (Maxwell-Spannungstensor) · V6 (Randwertprobleme)
• Literatur: Griffiths – Introduction to Electrodynamics · MIT OCW 8.07 Notes
• Nützlich: Vektoranalysis (Operatoren & Identitäten)

Lesetipp

• Erst Definition, dann Beispiel lesen; jede Formel kurz mit Dimensionen prüfen ($[E]=\text{V/m}$, $[\varphi ]=\text{V}$).
• Bei Superpositionen Quellenart notieren (Punkt/Fläche/Linie) und das passende Integral auswählen.
• Gauß-Gesetz: vor Integration Symmetrie und Gauß-Fläche als zwei Stichpunkte festhalten.

Beispiele – Laplace/Poisson (schnelle Referenz)

1) 1D-Poisson mit konstanter Quelle (Kartesisch)
${\nabla }^2\varphi =-{\rho }_0/{\epsilon }_0$ auf $z\in [-d,d]$, Dirichlet $\varphi (\pm d)=0$.
Zweifach integrieren: $\varphi (z)=-{\rho }_0{z}^2/(2{\epsilon }_0)+C_{1}z+C_2$. Randbedingungen $\varphi (\pm d)=0$ liefern $C_1=0$, $C_2={\rho }_0{d}^2/(2{\epsilon }_0)$.
Ergebnis: $\varphi (z)=\frac{{\rho }_0}{2{\epsilon }_0}(d^2-z^2),E_z=-{\partial }_z\varphi =\frac{{\rho }_0}{{\epsilon }_0}z.$
Symmetrische Quelle → Feld linear, Potential parabolisch.

2) 1D-Laplace zwischen zwei Platten (Kartesisch)
${\nabla }^2\varphi =0$ auf $z\in [0,d]$, Dirichlet $\varphi (0)=V_0$, $\varphi (d)=0$.
Ansatz $\varphi (z)=Az+B$, Randwerte geben $B=V_0$, $A=-V_0/d$.
Ergebnis: $\varphi (z)=V_0\left(1-\frac{z}{d}\right),E_z=-{\partial }_z\varphi =\frac{V_0}{d}.$
Linearer Verlauf, Feld konstant.

3) Zylindersymmetrie – Laplace im Hohlraum (Zylinderkondensator ohne Quelle)
Gebiet $a<r<b$, ${\nabla }^2\varphi =0$ in Zylinderkoordinaten: $\frac{1}{r}{\partial }_r(r{\partial }_r\varphi )=0$.
Integriere: $r{\partial }_r\varphi =C_1\Rightarrow {\partial }_r\varphi =C_1/r\Rightarrow \varphi (r)=C_1\ln r+C_2$.
Dirichlet $\varphi (a)=V_a$, $\varphi (b)=V_b$:
$C_1=\frac{V_a-V_b}{\ln (a/b)},C_2=V_a-C_1\ln a.$
Potentialverlauf: $\varphi (r)=V_a+(V_b-V_a)\frac{\ln (r/a)}{\ln (b/a)},E_r=-{\partial }_r\varphi =-\frac{V_b-V_a}{\ln (b/a)}\frac{1}{r}.$
Diese Form liefert direkt das $E(r)\propto 1/r$ und ist Basis für $C=2\pi {\epsilon }_{0}L/\ln (b/a)$.

4) Kugelsymmetrie – Laplace im leeren Raum (außen ohne Quellen)
${\nabla }^2\varphi =0$ für $R_1<r<R_2$. Allgemeine Lösung: $\varphi (r)=A+B/r$.
Dirichlet $\varphi (R_1)=V_1$, $\varphi (R_2)=V_2$:
$B=\frac{(V_1-V_2)R_1{R}_2}{R_2-R_1},A=V_1-\frac{B}{R_1}.$
$\varphi (r)=V_2+(V_1-V_2)\frac{R_2-r}{R_2-R_1}\frac{R_1}{r},E_r=-{\partial }_r\varphi =\frac{B}{r^2}.$
Grenzfall $R_2\to \infty$, $V_2=0$ ergibt $\varphi (r)=V_1{R}_1/r$ (Punktladungsform ohne Quelle im betrachteten Gebiet).

Nutzungshinweis

• Bei 1D-Problemen stets: zweimal integrieren, Konstanten über Randwerte fixen.
• Bei Zylinder/Kugel: allgemeine radiale Lösung (Koordinaten-Jacobian beachten), dann Konstanten über Randwerte.
• Quelle als Delta nur am Rand/außerhalb übernehmen; im Quell-freien Gebiet gilt Laplace.

Ausgeschriebene Beispiele (mit Zwischenschritten)

A) 1D-Poisson, konstante Quelle, symmetrische Dirichlet-Randwerte
Problem: ${\nabla }^2\varphi =-{\rho }_0/{\epsilon }_0$ für $z\in [-d,d]$, Rand: $\varphi (\pm d)=0$.

1. Schreibe ${\nabla }^2\varphi ={\partial }_{zz}\varphi$ (nur z-Abhängigkeit).
2. Erste Integration:
   ${\partial }_{zz}\varphi =-\frac{{\rho }_0}{{\epsilon }_0}\Rightarrow {\partial }_z\varphi =-\frac{{\rho }_0}{{\epsilon }_0}z+C_1.$
3. Zweite Integration:
   $\varphi (z)=-\frac{{\rho }_0}{2{\epsilon }_0}{z}^2+C_{1}z+C_2.$
4. Symmetrie: Quelle und Gebiet sind gerade in $z$, daher $\varphi (z)$ gerade und ${\partial }_z\varphi$ ungerade $\Rightarrow C_1=0$.
5. Randbedingung $\varphi (d)=0$ gibt $0=-{\rho }_0{d}^2/(2{\epsilon }_0)+C_2\Rightarrow C_2={\rho }_0{d}^2/(2{\epsilon }_0)$.
   Ergebnis:
   $\varphi (z)=\frac{{\rho }_0}{2{\epsilon }_0}(d^2-z^2),E_z=-{\partial }_z\varphi =\frac{{\rho }_0}{{\epsilon }_0}z.$
   Parabel für $\varphi$, lineares Feld.

B) 1D-Laplace zwischen Platten (Dirichlet)
Problem: ${\nabla }^2\varphi =0$ auf $z\in [0,d]$, $\varphi (0)=V_0$, $\varphi (d)=0$.

1. ${\partial }_{zz}\varphi =0$.
2. Erste Integration: ${\partial }_z\varphi =C_1$.
3. Zweite Integration: $\varphi (z)=C_{1}z+C_2$.
4. Rand $\varphi (0)=V_0\Rightarrow C_2=V_0$. Rand $\varphi (d)=0\Rightarrow 0=C_{1}d+V_0\Rightarrow C_1=-V_0/d$.
   Ergebnis:
   $\varphi (z)=V_0\left(1-\frac{z}{d}\right),E_z=-{\partial }_z\varphi =\frac{V_0}{d}.$
   Linearer Verlauf, konstantes Feld.

C) Zylindersymmetrie, quellenfreier Raum (Coax, Dirichlet an $r=a,b$)
Problem: ${\nabla }^2\varphi =0$ für $a<r<b$, keine $\phi ,z$-Abhängigkeit.

1. Laplace in Zylinderkoordinaten (nur $r$): $\frac{1}{r}{\partial }_r(r{\partial }_r\varphi )=0$.
2. Multipliziere mit $r$: ${\partial }_r(r{\partial }_r\varphi )=0$.
3. Integriere in $r$: $r{\partial }_r\varphi =C_1$.
4. Teile durch $r$: ${\partial }_r\varphi =C_1/r$.
5. Integriere erneut: $\varphi (r)=C_1\ln r+C_2$.
6. Randwerte: $\varphi (a)=V_a$, $\varphi (b)=V_b$.
   • Aus $\varphi (a)$: $V_a=C_1\ln a+C_2$.
   • Aus $\varphi (b)$: $V_b=C_1\ln b+C_2$.
   • Subtrahiere: $V_a-V_b=C_1(\ln a-\ln b)=C_1\ln (a/b)$ $\Rightarrow$ $C_1=\frac{V_a-V_b}{\ln (a/b)}$.
   • Setze in $V_a$: $C_2=V_a-C_1\ln a$.
     Ergebnis (kompakt):
     $\varphi (r)=V_a+(V_b-V_a)\frac{\ln (r/a)}{\ln (b/a)},E_r=-{\partial }_r\varphi =-\frac{V_b-V_a}{\ln (b/a)}\frac{1}{r}.$
     Die Ableitung zeigt das $1/r$-Profil für den Zylinderkondensator.

D) Kugelsymmetrie, quellenfreier Zwischenraum (Dirichlet an $r=R_1,R_2$)
Problem: ${\nabla }^2\varphi =0$ für $R_1<r<R_2$, keine Winkelabhängigkeit.

1. Laplace radial: $\frac{1}{r^2}{\partial }_r\left(r^2{\partial }_r\varphi \right)=0$.

2. Multipliziere mit $r^2$: ${\partial }_r\left(r^2{\partial }_r\varphi \right)=0$.

3. Integriere: $r^2{\partial }_r\varphi =C_1$.

4. Teile durch $r^2$: ${\partial }_r\varphi =C_1/r^2$.

5. Integriere: $\varphi (r)=-C_1/r+C_2$ (umbenenne $B=-C_1$, $A=C_2$).
   → Standardform: $\varphi (r)=A+B/r$.

6. Randwerte $\varphi (R_1)=V_1$, $\varphi (R_2)=V_2$:

   • $V_1=A+B/R_1$, $V_2=A+B/R_2$.
   • Subtrahiere: $V_1-V_2=B(1/R_1-1/R_2)=B(R_2-R_1)/(R_1{R}_2)$.
   • Daraus: $B=\frac{(V_1-V_2)R_1{R}_2}{R_2-R_1}$.
   • Dann: $A=V_1-B/R_1$.

   Ergebnis:
   $\varphi (r)=A+\frac{B}{r},E_r=-{\partial }_r\varphi =\frac{B}{r^2}.$
   Grenzfall $R_2\to \infty$, $V_2=0$ liefert $\varphi (r)=V_1{R}_1/r$ (wie Punktladung außerhalb des Gebiets).

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Übungen (WS 25/26)

• HA 1 über Gauß-Flächen, Basis-Poisson/Laplace und Kondensator-Formeln.
• HA 8 für Randwert-Mix (Dirichlet/Neumann) und Materialeinsatz; siehe auch Randwertprobleme (Elektrostatik).
• HA 9, Aufg. 27 (Helmholtz/Gauges) zur Verbindung Feld-/Potentialdarstellung.