Formelsammlung Elektrodynamik

Alle zentralen Formeln auf einer Seite, wahlweise in SI- oder Gauß-Einheiten (Umschalter oben). Die Links führen jeweils zur Seite mit Herleitung und Beispielen.

Konstanten

Größe	Wert
Elektrische Feldkonstante	${\epsilon }_0\approx 8,854\cdot 10^{-12}F/m$$\text{entfa¨llt}({\epsilon }_0\to 1/4\pi )$
Magnetische Feldkonstante	${\mu }_0\approx 1,2566\cdot 10^{-6}N/{\mathrm{A}}^2$$\text{entfa¨llt}({\mu }_0\to 4\pi /c^2)$
Lichtgeschwindigkeit	$c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}=299792458m/s$$c\approx 2,998\cdot 10^{10}cm/s$
Coulomb-Konstante	$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\approx 8,988\cdot 10^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$$k_{\text{e}}=1$
Elementarladung	$e\approx 1,602\cdot 10^{-19}\mathrm{C}$$e\approx 4,803\cdot 10^{-10}\mathrm{statC}$

Vektoranalysis

→ Vektoranalysis · Indexschreibweise – Summenkonvention, δ und ε

$${\int }_V\nabla \cdot \mathbf{F}dV={\oint }_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A},{\int }_A(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{A}={\oint }_{\partial A}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}$$ $$\nabla \times \nabla f=0,\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0,\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{F})-{\nabla }^2\mathbf{F}$$ $${\nabla }^2\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}=-4\pi {\delta }^3(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })$$ $$(\mathbf{a}\times \mathbf{b}{)}_i={\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k,(\nabla \times \mathbf{F}{)}_i={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{F}_k,{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$$

Elektrostatik

→ Elektrostatik - Lernseite (Grundlagen) · Energie und Kapazität in der Elektrostatik

	SI	Gauß
Feldgleichungen	$\nabla \cdot \mathbf{E}=\rho /{\epsilon }_0$, $\nabla \times \mathbf{E}=0$	$\nabla \cdot \mathbf{E}=4\pi \rho$, $\nabla \times \mathbf{E}=0$
Potential	$\mathbf{E}=-\nabla \varphi$, ${\nabla }^2\varphi =-\rho /{\epsilon }_0$	$\mathbf{E}=-\nabla \varphi$, $\Delta \varphi =-4\pi \rho$
Coulomb-Integral	$\varphi (\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$	$\varphi (\mathbf{r})=\int \frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$
Gaußsches Gesetz	$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{in}}/{\epsilon }_0$	$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=4\pi Q_{\text{in}}$
Leiteroberfläche	${\mathbf{E}}_{\text{innen}}=0$, $E_n=\sigma /{\epsilon }_0$, $p={\sigma }^2/(2{\epsilon }_0)$	${\mathbf{E}}_{\text{innen}}=0$, $E_n=4\pi \sigma$, $p=2\pi {\sigma }^2$
Feldenergie	$W=\frac{{\epsilon }_0}{2}\int E^2{d}^{3}r=\frac{1}{2}\int \rho \varphi d^{3}r$	$W=\frac{1}{8\pi }\int E^2{d}^{3}r=\frac{1}{2}\int \rho \varphi d^{3}r$
Kapazität	$C=Q/U$, $W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{U}^2$	unverändert ($C=Q/U$, $W=Q^2/2C$)

Gauß-System

Die Vorlesung Elektrodynamik im WiSe 26/27 rechnet im Gauß-System. Die Umrechnung ist eine Ersetzung in den Feldgleichungen, $1/{\epsilon }_0\to 4\pi$; Ladungen misst man dann in statC ($q_{\text{Gauß}}=q_{\text{SI}}/\sqrt{4\pi {\epsilon }_0}$), Energien und Kräfte bleiben gleich. Typische Vorzeichenfalle: die Green-Funktion ist $G=-1/(4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|)$ mit $\Delta G=+\delta$.

Kondensatoren (Vakuum; in Materie ${\epsilon }_0\to \epsilon$$C\to \epsilon C$):

$$C_{\text{Platte}}=\frac{{\epsilon }_{0}A}{d},C_{\text{Kugel}}=\frac{4\pi {\epsilon }_0{R}_1{R}_2}{R_2-R_1},C_{\text{Zylinder}}=\frac{2\pi {\epsilon }_{0}L}{\ln (b/a)}$$

$$C_{\text{Platte}}=\frac{A}{4\pi d},C_{\text{Kugel}}=\frac{R_1{R}_2}{R_2-R_1},C_{\text{Zylinder}}=\frac{L}{2\ln (b/a)}$$

→ Kugelkondensator · Zylinderkondensator · Maxwell-Spannungstensor (Elektrostatik)

Randwertprobleme & Multipole

→ Randwertprobleme (Elektrostatik) · Legendre-Ansatz und Grenzflächen · Multipolentwicklung (Elektrostatik)

Axialsymmetrische Lösung der Laplace-Gleichung:

$$\varphi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }{r}^{\ell }+\frac{B_{\ell }}{r^{\ell +1}}\right)P_{\ell }(\cos \theta ),{\int }_{-1}^1{P}_{\ell }{P}_{{\ell }^{\prime }}dx=\frac{2}{2\ell +1}{\delta }_{\ell {\ell }^{\prime }}$$

$P_0=1$, $P_1=x$, $P_2=\frac{1}{2}(3x^2-1)$. Entwicklung des Coulomb-Kerns:

$$\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\frac{r_{<}^{\ell }}{r_{>}^{\ell +1}}{P}_{\ell }(\cos \gamma )$$

Multipolentwicklung für $r$ außerhalb der Ladungsverteilung:

$$\varphi (\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{Q}{r}+\frac{\mathbf{p}\cdot \hat{\mathbf{r}}}{r^2}+\frac{1}{2}\frac{Q_{ij}{\hat{r}}_i{\hat{r}}_j}{r^3}+\dots \right),\mathbf{p}=\int \rho {\mathbf{r}}^{\prime }{d}^3{r}^{\prime }$$

$$\varphi (\mathbf{r})=\left(\frac{Q}{r}+\frac{\mathbf{p}\cdot \hat{\mathbf{r}}}{r^2}+\frac{1}{2}\frac{Q_{ij}{\hat{r}}_i{\hat{r}}_j}{r^3}+\dots \right),\mathbf{p}=\int \rho {\mathbf{r}}^{\prime }{d}^3{r}^{\prime }$$

Dipolfeld: $\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{3(\mathbf{p}\cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{p}}{r^3}$$\mathbf{E}=\frac{3(\mathbf{p}\cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{p}}{r^3}$; im äußeren Feld $W=-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E}$, $\mathbf{\tau }=\mathbf{p}\times \mathbf{E}$.

Bildladungen (→ Spiegelmethode (Elektrostatik)): Ebene $q^{\prime }=-q$ gespiegelt; geerdete Kugel $q^{\prime }=-qR/r_0$ im Abstand $R^2/r_0$ vom Mittelpunkt.

Felder in Materie

→ Dielektrika (Elektrostatik) · Magnetische Felder in Materie

Elektrisch	Magnetisch
$\mathbf{D}={\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$$\mathbf{D}=\mathbf{E}+4\pi \mathbf{P}$	$\mathbf{B}={\mu }_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})$$\mathbf{B}=\mathbf{H}+4\pi \mathbf{M}$
$\nabla \cdot \mathbf{D}={\rho }_{\text{frei}}$$\nabla \cdot \mathbf{D}=4\pi {\rho }_{\text{frei}}$	$\nabla \times \mathbf{H}={\mathbf{J}}_{\text{frei}}$$\nabla \times \mathbf{H}=\frac{4\pi }{c}{\mathbf{J}}_{\text{frei}}$ (statisch)
${\rho }_b=-\nabla \cdot \mathbf{P}$, ${\sigma }_b=\mathbf{P}\cdot \mathbf{n}$	${\mathbf{J}}_b=\nabla \times \mathbf{M}$${\mathbf{J}}_b=c\nabla \times \mathbf{M}$, ${\mathbf{K}}_b=\mathbf{M}\times \mathbf{n}$${\mathbf{K}}_b=c\mathbf{M}\times \mathbf{n}$
linear: $\mathbf{D}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\mathbf{E},{\epsilon }_r=1+{\chi }_e$$\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E},\epsilon =1+4\pi {\chi }_e$	linear: $\mathbf{B}={\mu }_0{\mu }_r\mathbf{H},{\mu }_r=1+{\chi }_m$$\mathbf{B}=\mu \mathbf{H},\mu =1+4\pi {\chi }_m$
Entelektrisierung: ${\mathbf{E}}_{\text{in}}={\mathbf{E}}_0-\mathsf{N}\mathbf{P}/{\epsilon }_0$${\mathbf{E}}_{\text{in}}={\mathbf{E}}_0-4\pi \mathsf{N}\mathbf{P}$	Entmagnetisierung: ${\mathbf{H}}_{\text{in}}={\mathbf{H}}_0-\mathsf{N}\mathbf{M}$${\mathbf{H}}_{\text{in}}={\mathbf{H}}_0-4\pi \mathsf{N}\mathbf{M}$

Randbedingungen ($\mathbf{n}$ von Medium 1 nach 2):

$$\mathbf{n}\cdot ({\mathbf{D}}_2-{\mathbf{D}}_1)={\sigma }_{\text{frei}},\mathbf{n}\times ({\mathbf{E}}_2-{\mathbf{E}}_1)=0,\mathbf{n}\cdot ({\mathbf{B}}_2-{\mathbf{B}}_1)=0,\mathbf{n}\times ({\mathbf{H}}_2-{\mathbf{H}}_1)={\mathbf{K}}_{\text{frei}}$$

$$\mathbf{n}\cdot ({\mathbf{D}}_2-{\mathbf{D}}_1)=4\pi {\sigma }_{\text{frei}},\mathbf{n}\times ({\mathbf{E}}_2-{\mathbf{E}}_1)=0,\mathbf{n}\cdot ({\mathbf{B}}_2-{\mathbf{B}}_1)=0,\mathbf{n}\times ({\mathbf{H}}_2-{\mathbf{H}}_1)=\frac{4\pi }{c}{\mathbf{K}}_{\text{frei}}$$

Magnetostatik

→ Magnetostatik - Grundgleichungen · Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential · Induktivität und magnetische Energie

	Formel
Feldgleichungen	$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$, $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}$$\nabla \times \mathbf{B}=\frac{4\pi }{c}\mathbf{J}$
Biot–Savart	$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime })\times \frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}{d}^3{r}^{\prime }$$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{1}{c}\int \mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime })\times \frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}{d}^3{r}^{\prime }$
Ampère	$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{\text{durch}}$$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\frac{4\pi }{c}{I}_{\text{durch}}$
Vektorpotential	$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$, $\mathbf{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$$\mathbf{A}=\frac{1}{c}\int \frac{\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$ (Coulomb-Eichung)
Typische Felder	Draht $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$B=\frac{2I}{cr}$, lange Spule $B={\mu }_{0}nI$$B=\frac{4\pi nI}{c}$
Magnetischer Dipol	$\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int \mathbf{r}\times \mathbf{J}{d}^{3}r$$\mathbf{m}=\frac{1}{2c}\int \mathbf{r}\times \mathbf{J}{d}^{3}r$, $\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{3(\mathbf{m}\cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m}}{r^3}$$\mathbf{B}=\frac{3(\mathbf{m}\cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m}}{r^3}$
Kraft	$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c}\times \mathbf{B})$, $d\mathbf{F}=Id\mathbf{l}\times \mathbf{B}$$d\mathbf{F}=\frac{I}{c}d\mathbf{l}\times \mathbf{B}$
Induktivität	$\Phi =LI$$\Phi =cLI$, $W=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2{\mu }_0}\int B^2{d}^{3}r$$W=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{8\pi }\int B^2{d}^{3}r$, $L_{\text{Spule}}={\mu }_0{n}^{2}A\ell$$L_{\text{Spule}}=\frac{4\pi n^{2}A\ell }{c^2}$

Maxwell-Gleichungen & Induktion

→ Elektrodynamik - Dynamik und Wellen · Faraday-Induktion (Elektrodynamik)

$$\begin{array}{rlrl}\nabla \cdot \mathbf{E}& =\frac{\rho }{{\epsilon }_0}& \nabla \times \mathbf{E}& =-{\partial }_t\mathbf{B}\\ \nabla \cdot \mathbf{B}& =0& \nabla \times \mathbf{B}& ={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0{\partial }_t\mathbf{E}\end{array}$$

$$\begin{array}{rlrl}\nabla \cdot \mathbf{E}& =4\pi \rho & \nabla \times \mathbf{E}& =-\frac{1}{c}{\partial }_t\mathbf{B}\\ \nabla \cdot \mathbf{B}& =0& \nabla \times \mathbf{B}& =\frac{4\pi }{c}\mathbf{J}+\frac{1}{c}{\partial }_t\mathbf{E}\end{array}$$

In Materie: $\nabla \cdot \mathbf{D}={\rho }_{\text{frei}}$$\nabla \cdot \mathbf{D}=4\pi {\rho }_{\text{frei}}$, $\nabla \times \mathbf{H}={\mathbf{J}}_{\text{frei}}+{\partial }_t\mathbf{D}$$\nabla \times \mathbf{H}=\frac{4\pi }{c}{\mathbf{J}}_{\text{frei}}+\frac{1}{c}{\partial }_t\mathbf{D}$. Kontinuitätsgleichung: ${\partial }_t\rho +\nabla \cdot \mathbf{J}=0$.

Induktionsgesetz: $\mathcal{E}=\oint (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d{\Phi }_B}{dt}$$\mathcal{E}=\oint (\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}=-\frac{1}{c}\frac{d{\Phi }_B}{dt}$.

Potentiale & Eichungen

→ Coulomb-Eichung (Elektrodynamik) · Lorenz-Eichung (Elektrodynamik) · Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder)

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A},\mathbf{E}=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A},\mathbf{A}\to \mathbf{A}+\nabla \chi ,\varphi \to \varphi -{\partial }_t\chi$$

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A},\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{1}{c}{\partial }_t\mathbf{A},\mathbf{A}\to \mathbf{A}+\nabla \chi ,\varphi \to \varphi -\frac{1}{c}{\partial }_t\chi$$

Eichung	Bedingung	Gleichungen
Coulomb	$\nabla \cdot \mathbf{A}=0$	${\nabla }^2\varphi =-\rho /{\epsilon }_0$${\nabla }^2\varphi =-4\pi \rho$, $\square \mathbf{A}=-{\mu }_0{\mathbf{J}}_T$$\square \mathbf{A}=-\frac{4\pi }{c}{\mathbf{J}}_T$
Lorenz	$\nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c^2}{\partial }_t\varphi =0$$\nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c}{\partial }_t\varphi =0$	$\square \varphi =-\rho /{\epsilon }_0$$\square \varphi =-4\pi \rho$, $\square \mathbf{A}=-{\mu }_0\mathbf{J}$$\square \mathbf{A}=-\frac{4\pi }{c}\mathbf{J}$

mit $\square ={\nabla }^2-\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2$. Retardierte Potentiale (Lorenz-Eichung):

$$\varphi (\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },t_r=t-\frac{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{c}$$

$$\varphi (\mathbf{r},t)=\int \frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{c}\int \frac{\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },t_r=t-\frac{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{c}$$

Energie, Impuls & Wellen

→ Impulsbilanz und Poynting-Vektor

	Formel
Energiedichte	$u=\frac{{\epsilon }_0}{2}{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2$$u=\frac{1}{8\pi }\left(E^2+B^2\right)$ (in Materie $\frac{1}{2}(\mathbf{E}\cdot \mathbf{D}+\mathbf{B}\cdot \mathbf{H})$$\frac{1}{8\pi }(\mathbf{E}\cdot \mathbf{D}+\mathbf{B}\cdot \mathbf{H})$)
Poynting-Vektor	$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$$\mathbf{S}=\frac{c}{4\pi }\mathbf{E}\times \mathbf{B}$
Poynting-Theorem	${\partial }_{t}u+\nabla \cdot \mathbf{S}=-\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}$
Impulsdichte	$\mathbf{g}={\epsilon }_0\mathbf{E}\times \mathbf{B}=\mathbf{S}/c^2$$\mathbf{g}=\frac{1}{4\pi c}\mathbf{E}\times \mathbf{B}=\mathbf{S}/c^2$
Spannungstensor	$T_{ij}={\epsilon }_0\left(E_i{E}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}{E}^2\right)+\frac{1}{{\mu }_0}\left(B_i{B}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}{B}^2\right)$$T_{ij}=\frac{1}{4\pi }\left(E_i{E}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}{E}^2\right)+\frac{1}{4\pi }\left(B_i{B}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}{B}^2\right)$
Ebene Welle	$\mathbf{E}={\mathbf{E}}_0{e}^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)}$, $\omega =ck$, $\mathbf{B}=\frac{1}{\omega }\mathbf{k}\times \mathbf{E}$$\mathbf{B}=\frac{c}{\omega }\mathbf{k}\times \mathbf{E}$, $\mathbf{k}\cdot \mathbf{E}=0$
Intensität	$I=⟨S⟩=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$$I=⟨S⟩=\frac{c}{8\pi }{E}_0^2$
Dipolstrahlung	$P=\frac{{\mu }_0|\ddot{\mathbf{p}}{|}^2}{6\pi c}$$P=\frac{2|\ddot{\mathbf{p}}{|}^2}{3c^3}$, harmonisch $⟨P⟩=\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{12\pi c}$$⟨P⟩=\frac{p_0^2{\omega }^4}{3c^3}$

Spezielle Relativität

→ Relativität – Lorentz-Transformation · Minkowski-Raum und Vierervektoren

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}},c{t}^{\prime }=\gamma \left(ct-\frac{v}{c}x\right),x^{\prime }=\gamma (x-vt),s^2=c^2{t}^2-|\mathbf{x}{|}^2\text{invariant}$$

Zeitdilatation $\Delta t=\gamma \Delta \tau$, Längenkontraktion $L=L_0/\gamma$, Geschwindigkeitsaddition $u=\frac{u^{\prime }+v}{1+u^{\prime }v/c^2}$.

Vierervektoren mit $\eta =\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$:

$$p^{\mu }=\left(\frac{E}{c},\mathbf{p}\right),E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2,J^{\mu }=(c\rho ,\mathbf{J}),A^{\mu }=\left(\frac{\varphi }{c},\mathbf{A}\right),{\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0,\square A^{\mu }=-{\mu }_0{J}^{\mu }$$

$$p^{\mu }=\left(\frac{E}{c},\mathbf{p}\right),E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2,J^{\mu }=(c\rho ,\mathbf{J}),A^{\mu }=(\varphi ,\mathbf{A}),{\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0,\square A^{\mu }=-\frac{4\pi }{c}{J}^{\mu }$$