Magnetostatik – Grundgleichungen & Überblick

Die Magnetostatik beschreibt stationäre Ströme und die dadurch erzeugten magnetischen Felder. Diese Notiz ergänzt die elektrostatischen Seiten (Elektrostatik) und bereitet die dynamischen Maxwell-Gleichungen vor.

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1. Voraussetzungen & Annahmen

• Zeitunabhängige Ströme: $\partial \rho /\partial t=0$, $\partial \mathbf{J}/\partial t=0$.
• Ladungserhaltung reduziert sich auf $\nabla \cdot \mathbf{J}=0$.
• Keine Verschiebungsströme ($\partial \mathbf{E}/\partial t=0$).
• Felder hängen nur von stationären Quellen ab.

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2. Biot–Savart-Gesetz

Für einen stationären Strom $\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime })$:

$$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime })\times \frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}{d}^3{r}^{\prime }$$

Für einen dünnen Draht mit Strom $I$:

$$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\int }_{\mathcal{L}}\frac{d{\mathbf{\ell }}^{\prime }\times (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}$$

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3. Grundgleichungen (Differentialform)

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{B}& =0\\ \nabla \times \mathbf{B}& ={\mu }_0\mathbf{J}\end{array}$$

Mit dem Vektorpotential $\mathbf{A}$:

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A},\nabla \cdot \mathbf{A}=0\text{(Coulomb-Eichung)}$$

und

$${\nabla }^2\mathbf{A}=-{\mu }_0\mathbf{J}.$$

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4. Integralform (Ampère-Gesetz)

$${\oint }_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{durch}}$$

Bei hoher Symmetrie (zylindrisch, plan, toroidal) lässt sich $\mathbf{B}$ direkt bestimmen, z. B. für den unendlich langen Leiter:

$$B_{\phi }(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}.$$

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5. Magnetostatische Energie

Feldenergie:

$$W=\frac{1}{2{\mu }_0}{\int }_V|\mathbf{B}{|}^2{d}^{3}r=\frac{1}{2}{\int }_V\mathbf{J}\cdot \mathbf{A}{d}^{3}r$$

Hilfreich für Induktivitäten:

$$W=\frac{1}{2}L{I}^2\Rightarrow L=\frac{2W}{I^2}.$$

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6. Materialgleichungen (Ausblick)

Für lineare Medien:

$$\mathbf{B}={\mu }_0(\mathbf{H}+\mathbf{M}),\mathbf{M}={\chi }_m\mathbf{H}.$$

Diese Beziehungen werden wichtig, sobald magnetische Materialien (Dia-, Para-, Ferromagnetismus) betrachtet werden; Details siehe Magnetische Felder in Materie.

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7. Typische Beispiele

System	Ergebnis	Hinweis
Unendlich langer Leiter	$B_{\phi }(r)={\mu }_{0}I/(2\pi r)$	Ampère-Linie (Zylinder)
Kreisförmige Leiterschleife	$B_z$ auf Achse: ${\mu }_{0}I{R}^2/[2(R^2+z^2{)}^{3/2}]$	Biot–Savart
Langes Solenoid	$B\approx {\mu }_{0}nI$	Innen homogen, außen $\approx 0$
Toroid (ideal)	$B_{\phi }={\mu }_{0}NI/(2\pi r)$	Feld eingeschlossen

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8. Lern- & Prüfungsanker

1. Symmetrien analysieren → Ampère oder Biot–Savart wählen.
2. Stromdichte korrekt formulieren (Volumen-, Flächen-, Linienströme).
3. Grenzbedingungen an Oberflächenströmen: $\mathbf{n}\times ({\mathbf{H}}_2-{\mathbf{H}}_1)={\mathbf{K}}_{\text{frei}}$.
4. Energie/Induktivität berechnen und mit $\mathbf{J}\cdot \mathbf{A}$ abgleichen.
5. Materieeffekte im Hinterkopf behalten → Verweis auf Magnetische Felder in Materie.

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9. Ausblick auf dynamische Maxwell-Gleichungen

Sobald ${\partial }_t\ne 0$ gilt, treten Verschiebungsstrom und induzierte Felder auf:

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{E}& =\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\\ \nabla \cdot \mathbf{B}& =0,\\ \nabla \times \mathbf{E}& =-{\partial }_t\mathbf{B},\\ \nabla \times \mathbf{B}& ={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0{\partial }_t\mathbf{E}.\end{array}$$

Wichtige Konsequenzen für Theo III (ÜB 9 und folgend):

• Wellengleichungen: $\square \mathbf{E}={\mu }_0{\epsilon }_0{\partial }_t\mathbf{J}+\nabla (\rho /{\epsilon }_0)$, $\square \mathbf{B}=-{\mu }_0\nabla \times \mathbf{J}$ mit $\square ={\nabla }^2-\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2$.
• Potentiale und Eichungen: Coulomb- vs. Lorenz- vs. Poincaré-Eichung steuern, welche Quellanteile ($\rho$, ${\mathbf{j}}_T$) wirken.
• Energiefluss: Poynting-Vektor $\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$, Energiedichte $u=\frac{1}{2}({\epsilon }_0|\mathbf{E}{|}^2+|\mathbf{B}{|}^2/{\mu }_0)$.

Siehe Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder), Coulomb-Eichung (Elektrodynamik), Lorenz-Eichung (Elektrodynamik), Poincaré-Eichung (Elektrodynamik) und Elektrodynamik - Dynamik und Wellen für Details.

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10. Ressourcen

• Tafelbilder: V11–V13 (Magnetostatik, Stromverteilungen, Magnetfeld in Materie).
• Literatur: Griffiths Kap. 5, Jackson Kap. 5, MIT OCW 8.02/8.07.
• Verknüpfungen: Elektrostatik, Randwertprobleme (Elektrostatik), Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential, Magnetische Felder in Materie, Materialgesetze Magnetik, Induktivität und magnetische Energie.