Magnetostatik – Grundgleichungen & Überblick

Die Magnetostatik beschreibt stationäre Ströme und die dadurch erzeugten magnetischen Felder. Diese Notiz ergänzt die elektrostatischen Seiten (Elektrostatik) und bereitet die dynamischen Maxwell-Gleichungen vor.

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1. Voraussetzungen & Annahmen

• Zeitunabhängige Ströme: $\partial \rho /\partial t=0$, $\partial \mathbf{J}/\partial t=0$.
• Ladungserhaltung reduziert sich auf $\nabla \cdot \mathbf{J}=0$.
• Keine Verschiebungsströme ($\partial \mathbf{E}/\partial t=0$).
• Felder hängen nur von stationären Quellen ab.

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2. Biot–Savart-Gesetz

Für einen stationären Strom $\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime })$:

$$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime })\times \frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}{d}^3{r}^{\prime }$$

$$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{1}{c}{\int }_V\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime })\times \frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}{d}^3{r}^{\prime }$$

Für einen dünnen Draht mit Strom $I$:

$$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\int }_{\mathcal{L}}\frac{d{\mathbf{\ell }}^{\prime }\times (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}$$

$$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{I}{c}{\int }_{\mathcal{L}}\frac{d{\mathbf{\ell }}^{\prime }\times (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}$$

Beitrag eines Leiterelements dℓ′ am Ort r′: dB steht senkrecht auf dℓ′ und auf r − r′. Hier zeigt es in die Zeichenebene hinein (Rechte-Hand-Regel).

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3. Grundgleichungen (Differentialform)

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{B}& =0\\ \nabla \times \mathbf{B}& ={\mu }_0\mathbf{J}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{B}& =0\\ \nabla \times \mathbf{B}& =\frac{4\pi }{c}\mathbf{J}\end{array}$$

Mit dem Vektorpotential $\mathbf{A}$:

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A},\nabla \cdot \mathbf{A}=0\text{(Coulomb-Eichung)}$$

und

$${\nabla }^2\mathbf{A}=-{\mu }_0\mathbf{J}.$$

$${\nabla }^2\mathbf{A}=-\frac{4\pi }{c}\mathbf{J}.$$

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4. Integralform (Ampère-Gesetz)

$${\oint }_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{durch}}$$

$${\oint }_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell }=\frac{4\pi }{c}{I}_{\text{durch}}$$

Bei hoher Symmetrie (zylindrisch, plan, toroidal) lässt sich $\mathbf{B}$ direkt bestimmen, z. B. für den unendlich langen Leiter:

$$B_{\phi }(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}.$$

$$B_{\phi }(r)=\frac{2I}{cr}.$$

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Beispielaufgabe

Aufgabe: Dicker Draht mit homogener Stromdichte

Ein unendlich langer Draht vom Radius $a$ führt den Strom $I$, gleichmäßig über den Querschnitt verteilt. Bestimme $B(r)$ innen und außen und die magnetische Energie pro Länge im Drahtinneren.

Lösung

1. Symmetrie: $\mathbf{B}=B(r)\hat{\mathbf{\phi }}$; Ampère-Kreis vom Radius $r$ um die Achse: $\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=2\pi rB$.
2. Außen: $2\pi rB={\mu }_{0}I\Rightarrow B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$2\pi rB=\frac{4\pi }{c}I\Rightarrow B=\frac{2I}{cr}$.
3. Innen: umschlossen ist $I{r}^2/a^2$ (siehe Flächen- und Volumenelemente – Leitfaden), also $B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}$$B=\frac{2Ir}{c{a}^2}$.
4. Energie innen pro Länge: $W^{\prime }={\int }_0^a\frac{B^2}{2{\mu }_0}2\pi rdr=\frac{{\mu }_0{I}^2}{4\pi a^4}{\int }_0^a{r}^{3}dr=\frac{{\mu }_0{I}^2}{16\pi }.$$W^{\prime }={\int }_0^a\frac{B^2}{8\pi }2\pi rdr=\frac{I^2}{c^2{a}^4}{\int }_0^a{r}^{3}dr=\frac{I^2}{4c^2}.$
5. Mit $W^{\prime }=\frac{1}{2}{L}^{\prime }{I}^2$ folgt die innere Induktivität $L_{\text{innen}}^{\prime }=\frac{{\mu }_0}{8\pi }$$L_{\text{innen}}^{\prime }=\frac{1}{2c^2}$ – unabhängig vom Radius.

Merke: Das Vorgehen ist dasselbe wie bei der geladenen Vollkugel: Symmetrie → Integrationsweg → eingeschlossene Quelle.

Kontinuitätsgleichung und Lorentzkraft

Ladungserhaltung. Für Punktladungen auf Bahnen ${\mathbf{r}}_i(t)$ sind $\rho ={\sum }_i{q}_i\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_i(t))$ und $\mathbf{J}={\sum }_i{q}_i{\dot{\mathbf{r}}}_i\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_i(t))$. Was aus einem festen Volumen $V$ herausfließt, fehlt darin:

$$\frac{d}{dt}{\int }_V\rho d^{3}r+{\oint }_{\partial V}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}=0⟹{\partial }_t\rho +\nabla \cdot \mathbf{J}=0.$$

In der Magnetostatik ist ${\partial }_t\rho =0$, also $\nabla \cdot \mathbf{J}=0$. Das passt zu $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B})=0$: Ohne quellenfreie Ströme wäre $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}$$\nabla \times \mathbf{B}=\frac{4\pi }{c}\mathbf{J}$ gar nicht lösbar.

Lorentzkraft. Eine Ladung $Q$ im Ursprung bewege sich mit $v\hat{\mathbf{z}}$. Am Ort $r\hat{\mathbf{x}}$ erzeugt sie nach Biot–Savart

$$\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Qv}{r^2}\hat{\mathbf{y}}.$$

$$\mathbf{B}=\frac{Qv}{c{r}^2}\hat{\mathbf{y}}.$$

$\mathbf{B}$ zeigt also quer zur Verbindungslinie. Eine Kraft entlang der Verbindungslinie (Zentralkraft) auf eine zweite, gleich bewegte Ladung $q$ entsteht erst über das Kreuzprodukt mit der Geschwindigkeit. Zusammen mit dem elektrischen Anteil:

$$\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right).$$

$$\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c}\times \mathbf{B}\right).$$

Für die beiden parallel bewegten Ladungen ergibt sich ${\mathbf{F}}_{\text{mag}}=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{qQ{v}^2}{r^2}\hat{\mathbf{x}}$${\mathbf{F}}_{\text{mag}}=-\frac{1}{c^2}\frac{qQ{v}^2}{r^2}\hat{\mathbf{x}}$: Gleichgerichtete Ströme ziehen sich an. Gegenüber der Coulombkraft $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{r^2}$$\frac{qQ}{r^2}$ ist der magnetische Anteil um $v^2/c^2$ kleiner.

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5. Magnetostatische Energie

Feldenergie:

$$W=\frac{1}{2{\mu }_0}{\int }_V|\mathbf{B}{|}^2{d}^{3}r=\frac{1}{2}{\int }_V\mathbf{J}\cdot \mathbf{A}{d}^{3}r$$

$$W=\frac{1}{8\pi }{\int }_V|\mathbf{B}{|}^2{d}^{3}r=\frac{1}{2c}{\int }_V\mathbf{J}\cdot \mathbf{A}{d}^{3}r$$

Hilfreich für Induktivitäten:

$$W=\frac{1}{2}L{I}^2\Rightarrow L=\frac{2W}{I^2}.$$

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6. Materialgleichungen (Ausblick)

Für lineare Medien:

$$\mathbf{B}={\mu }_0(\mathbf{H}+\mathbf{M}),\mathbf{M}={\chi }_m\mathbf{H}.$$

$$\mathbf{B}=\mathbf{H}+4\pi \mathbf{M},\mathbf{M}={\chi }_m\mathbf{H}.$$

Diese Beziehungen werden wichtig, sobald magnetische Materialien (Dia-, Para-, Ferromagnetismus) betrachtet werden; Details siehe Magnetische Felder in Materie.

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7. Typische Beispiele

System	Ergebnis	Hinweis
Unendlich langer Leiter	$B_{\phi }(r)={\mu }_{0}I/(2\pi r)$$B_{\phi }(r)=2I/(cr)$	Ampère-Linie (Zylinder)
Kreisförmige Leiterschleife	$B_z$ auf Achse: ${\mu }_{0}I{R}^2/[2(R^2+z^2{)}^{3/2}]$$2\pi I{R}^2/[c(R^2+z^2{)}^{3/2}]$	Biot–Savart
Langes Solenoid	$B\approx {\mu }_{0}nI$$B\approx 4\pi nI/c$	Innen homogen, außen $\approx 0$
Toroid (ideal)	$B_{\phi }={\mu }_{0}NI/(2\pi r)$$B_{\phi }=2NI/(cr)$	Feld eingeschlossen

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8. Das solltest du können

1. Symmetrien analysieren → Ampère oder Biot–Savart wählen.
2. Stromdichte korrekt formulieren (Volumen-, Flächen-, Linienströme).
3. Grenzbedingungen an Oberflächenströmen: $\mathbf{n}\times ({\mathbf{H}}_2-{\mathbf{H}}_1)={\mathbf{K}}_{\text{frei}}$$\mathbf{n}\times ({\mathbf{H}}_2-{\mathbf{H}}_1)=\frac{4\pi }{c}{\mathbf{K}}_{\text{frei}}$.
4. Energie/Induktivität berechnen und mit $\mathbf{J}\cdot \mathbf{A}$ abgleichen.
5. Materieeffekte im Hinterkopf behalten → Verweis auf Magnetische Felder in Materie.

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9. Ausblick auf dynamische Maxwell-Gleichungen

Sobald ${\partial }_t\ne 0$ gilt, treten Verschiebungsstrom und induzierte Felder auf:

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{E}& =\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\\ \nabla \cdot \mathbf{B}& =0,\\ \nabla \times \mathbf{E}& =-{\partial }_t\mathbf{B},\\ \nabla \times \mathbf{B}& ={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0{\partial }_t\mathbf{E}.\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{E}& =4\pi \rho ,\\ \nabla \cdot \mathbf{B}& =0,\\ \nabla \times \mathbf{E}& =-{\partial }_t\mathbf{B},\\ \nabla \times \mathbf{B}& =\frac{4\pi }{c}\mathbf{J}+\frac{1}{c}{\partial }_t\mathbf{E}.\end{array}$$

Wichtige Konsequenzen für Theo III:

• Wellengleichungen: $\square \mathbf{E}={\mu }_0{\epsilon }_0{\partial }_t\mathbf{J}+\nabla (\rho /{\epsilon }_0)$$\square \mathbf{E}=\frac{4\pi }{c^2}{\partial }_t\mathbf{J}+4\pi \nabla \rho$, $\square \mathbf{B}=-{\mu }_0\nabla \times \mathbf{J}$$\square \mathbf{B}=-\frac{4\pi }{c}\nabla \times \mathbf{J}$ mit $\square ={\nabla }^2-\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2$.
• Potentiale und Eichungen: Coulomb- vs. Lorenz- vs. Poincaré-Eichung steuern, welche Quellanteile ($\rho$, ${\mathbf{j}}_T$) wirken.
• Energiefluss: Poynting-Vektor $\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$$\mathbf{S}=\frac{c}{4\pi }\mathbf{E}\times \mathbf{B}$, Energiedichte $u=\frac{1}{2}({\epsilon }_0|\mathbf{E}{|}^2+|\mathbf{B}{|}^2/{\mu }_0)$$u=\frac{1}{8\pi }(|\mathbf{E}{|}^2+|\mathbf{B}{|}^2)$.

Siehe Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder), Coulomb-Eichung (Elektrodynamik), Lorenz-Eichung (Elektrodynamik), Poincaré-Eichung (Elektrodynamik) und Elektrodynamik - Dynamik und Wellen für Details.

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10. Ressourcen

• Literatur: Griffiths Kap. 5, Jackson Kap. 5, MIT OCW 8.02/8.07.
• Verknüpfungen: Elektrostatik, Randwertprobleme (Elektrostatik), Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential, Magnetische Felder in Materie, Materialgesetze Magnetik, Induktivität und magnetische Energie.