Materialgesetze (Magnetik) – B, H, M

Wie hängen $\mathbf{B}$, $\mathbf{H}$ und $\mathbf{M}$ in Materie zusammen? Lineare und anisotrope Materialien, Permeabilität, Hysterese und Randbedingungen im Überblick.

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1. Grundbeziehungen

$$\mathbf{B}={\mu }_0(\mathbf{H}+\mathbf{M}),\mathbf{M}={\chi }_m\mathbf{H},\mathbf{B}=\mu \mathbf{H},\mu ={\mu }_0(1+{\chi }_m).$$

Anisotrop: $M_i={\chi }_{ij}{H}_j$, $B_i={\mu }_{ij}{H}_j$ (Tensoren symmetrisch bei Verlustfreiheit).

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2. Materialklassen

• Diamagnetisch: ${\chi }_m<0$, ${\mu }_r\lesssim 1$.
• Paramagnetisch: ${\chi }_m>0$ klein.
• Ferromagnetisch: nichtlinear, Hysterese (Kennwerte: $B_s$ Sättigung, $B_r$ Remanenz, $H_c$ Koerzitivfeld).

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3. Hysterese-Kurven (Ferromagnet)

• $B(H)$ Schleife mit $B_s$, $B_r$, $H_c$.
• Energieverlust pro Zyklus = Fläche der Schleife.
• Entmagnetisierung: Rückführen entlang Minor Loop oder durch Wechselfeld/Erwärmung.

Hysterese-Schleife: Die Neukurve führt vom unmagnetisierten Zustand in die Sättigung B_s. Bei fallendem H bleibt bei H = 0 die Remanenz B_r, erst beim Koerzitivfeld −H_c ist B = 0. Die eingeschlossene Fläche ist ein Maß für die Energie, die pro Umlauf als Wärme verloren geht.

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4. Randbedingungen (magnetisch)

$$\mathbf{n}\cdot ({\mathbf{B}}_2-{\mathbf{B}}_1)=0,\mathbf{n}\times ({\mathbf{H}}_2-{\mathbf{H}}_1)={\mathbf{K}}_{\text{frei}}.$$

Gebundene Ströme: ${\mathbf{J}}_b=\nabla \times \mathbf{M}$, ${\mathbf{K}}_b=\mathbf{M}\times \mathbf{n}$.

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5. Beispiel: Brechung der Feldlinien an Eisen

An der Grenze zwischen Eisen (Medium 1, ${\mu }_1={\mu }_r{\mu }_0$ mit ${\mu }_r\approx 1000$) und Luft (Medium 2, ${\mu }_2={\mu }_0$) fließen keine freien Flächenströme. Dann sind $B_n$ und $H_t$ stetig. Mit dem Winkel $\alpha$ zwischen Feldlinie und Flächennormale gilt $\tan \alpha =B_t/B_n=\mu H_t/B_n$, also $\frac{\tan {\alpha }_1}{\tan {\alpha }_2}=\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}={\mu }_r.$ Verlaufen die Feldlinien im Eisen unter ${\alpha }_1=80^{\circ }$ ($\tan {\alpha }_1\approx 5,7$), treten sie unter $\tan {\alpha }_2\approx 0,0057$, also ${\alpha }_2\approx 0,3^{\circ }$, in die Luft aus – praktisch senkrecht zur Oberfläche.

Folge: Eisen „führt“ den magnetischen Fluss wie ein Leiter den Strom (magnetische Kreise, Transformatorkerne). Das elektrische Gegenstück mit ${\epsilon }_r$ steht in Dielektrika (Elektrostatik).

6. Verknüpfungen

• Grundlagen: Magnetische Felder in Materie.
• Felder/Ströme: Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential, Magnetostatik - Grundgleichungen.
• Energie/L: Induktivität und magnetische Energie.
• Randbedingungen analog Elektrostatik: Dielektrika (Elektrostatik).