Magnetische Felder in Materie – Überblick

Diese Notiz sammelt alle zentralen Konzepte für stationäre magnetische Felder in Materialien. Sie ergänzt Magnetostatik - Grundgleichungen, Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential sowie die dielektrische Schwesterseite Dielektrika (Elektrostatik). Für Anwendungen in der vollständigen Elektrodynamik bildet sie eine Brücke zu den Maxwell-Gleichungen.

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1. Grundgrößen und Definitionen

Symbol	Bedeutung	Hinweis
$\mathbf{B}$	Magnetische Flussdichte	„magnetische Induktion“
$\mathbf{H}$	Magnetfeldstärke	Quellen durch freie Ströme
$\mathbf{M}$	Magnetisierung	magnetisches Dipolmoment pro Volumen
${\chi }_m$	Magnetische Suszeptibilität	$\mathbf{M}={\chi }_m\mathbf{H}$ für lineare Medien
$\mu ={\mu }_0{\mu }_r$	Permeabilität	${\mu }_r=1+{\chi }_m$ bei linearen Medien

Feldbeziehungen

$$\mathbf{B}={\mu }_0(\mathbf{H}+\mathbf{M}),\mathbf{H}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{B}-\mathbf{M}$$

Für lineare, isotrope Medien (LIM):

$$\mathbf{B}=\mu \mathbf{H},\mathbf{M}={\chi }_m\mathbf{H}$$

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2. Maxwell-Gleichungen in der Magnetostatik mit Materie

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{B}& =0,\\ \nabla \times \mathbf{H}& ={\mathbf{J}}_{\text{frei}}\end{array}$$

Magnetisierung erzeugt gebundene Ströme:

• Volumenstrom: ${\mathbf{J}}_{\text{b}}=\nabla \times \mathbf{M}$
• Oberflächenstrom: ${\mathbf{K}}_{\text{b}}=\mathbf{M}\times \mathbf{n}$

Gesamtstrom: ${\mathbf{J}}_{\text{gesamt}}={\mathbf{J}}_{\text{frei}}+{\mathbf{J}}_{\text{b}}$.

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3. Randbedingungen

Grenzfläche zwischen Medium 1 und 2 mit Normale $\mathbf{n}$:

1. Normalanteil von $\mathbf{B}$: $$\mathbf{n}\cdot ({\mathbf{B}}_2-{\mathbf{B}}_1)=0$$
2. Tangentialanteil von $\mathbf{H}$: $$\mathbf{n}\times ({\mathbf{H}}_2-{\mathbf{H}}_1)={\mathbf{K}}_{\text{frei}}$$
3. Gebundene Ströme sind bereits in ${\mathbf{K}}_{\text{b}}$ enthalten; es ist sinnvoll, $\mathbf{H}$ mit den freien Strömen zu koppeln.

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4. Materialklassen

Klasse	${\chi }_m$	Eigenschaften	Beispiele
Diamagnetisch	${\chi }_m<0$	schwacher Widerstand gegen das Feld, ${\mu }_r\lesssim 1$	Bismut, Kupfer
Paramagnetisch	${\chi }_m>0$ klein	leichte Verstärkung des Feldes	Aluminium, Wolfram
Ferromagnetisch	${\chi }_m\gg 1$	Hysterese, Sättigung, Domänen	Eisen, Nickel
Antiferro-/Ferrimagnetisch	komplex	gekoppelte Dipolverhalten	MnO, Ferrite

Ferromagnetismus erfordert nichtlineare Modelle (B-H-Kurven, Hysterese), siehe Materialgesetze Magnetik.

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5. Magnetisierung und gebundene Ströme

• Homogenes Material mit $\mathbf{M}=\text{const}$:
  • ${\mathbf{J}}_{\text{b}}=0$ (keine Volumenströme),
  • ${\mathbf{K}}_{\text{b}}=\mathbf{M}\times \mathbf{n}$ → Strom entlang der Oberfläche.
• Nicht-homogene $\mathbf{M}$ erzeugt interne Ströme, analog zu ${\rho }_{\text{b}}=-\nabla \cdot \mathbf{P}$ in der Elektrostatik.

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6. Beispiel: Zylindrischer Magnet im externen Feld

• Zylinder mit Radius $R$, magnetischer Suszeptibilität ${\chi }_m$, externem homogenem Feld ${\mathbf{H}}_0=H_0\hat{z}$.
• Innenfeld (langer Zylinder, Entmagnetisierungsfaktor $N$): $${\mathbf{H}}_{\text{in}}=\frac{H_0}{1+N{\chi }_m}\hat{z},{\mathbf{B}}_{\text{in}}={\mu }_0({\mathbf{H}}_{\text{in}}+\mathbf{M})$$ Für einen ideal langen Zylinder gilt $N\approx 0$; bei endlichen Geometrien muss $N\ne 0$ berücksichtigt werden.
• Oberfläche: gebundener Strom ${\mathbf{K}}_{\text{b}}=\mathbf{M}\times \hat{n}$ entspricht einem gleichmäßigen Oberflächenstromring.

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7. Energie und Kräfte

Energie in magnetisierten Medien:

$$W=\frac{1}{2}\int \mathbf{H}\cdot \mathbf{B}{d}^{3}r=\frac{1}{2}\int \mathbf{H}\cdot \mu \mathbf{H}{d}^{3}r$$

Kräfte auf magnetische Einsätze können mit dem Maxwell-Spannungstensor (magnetische Variante) oder über Energieänderungen berechnet werden. Siehe Maxwell-Spannungstensor (Elektrostatik) als elektrostatisches Pendant und Impulsbilanz und Poynting-Vektor für den vollen Tensor mit $\mathbf{B}$-Anteil.

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8. Entmagnetisierung ↔ Entelektrisierung

Magnetisierte Körper erzeugen über ihre Oberflächen-„Pole“ ($\mathbf{M}\cdot \mathbf{n}$) ein Gegenfeld. Für Ellipsoide gilt analog zur Entelektrisierung:

$${\mathbf{H}}_{\text{in}}={\mathbf{H}}_0-\mathsf{N}\mathbf{M},\mathrm{Sp}\mathsf{N}=1,$$

mit denselben Formfaktoren (Kugel $1/3$, Platte senkrecht $1$, langer Stab parallel $0$). Mit $\mathbf{M}={\chi }_m{\mathbf{H}}_{\text{in}}$ folgt $H_{\text{in}}=H_0/(1+N{\chi }_m)$, vgl. Abschnitt 6.

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9. Ressourcen & Verknüpfungen

• Notizen: Magnetostatik - Grundgleichungen, Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential, Elektrostatik in Materie, Dielektrika (Elektrostatik)
• Tafelbilder: V11 Magnetostatik – Grundgleichungen, V12 Ströme und Verteilungen, V13 Magnetfeld in Materie
• Literatur: Griffiths Kap. 6, Jackson Kap. 6, MIT OCW 8.07 „Magnetostatics in Matter“