Impulsbilanz und Poynting-Vektor

Das elektromagnetische Feld transportiert Energie und Impuls. Diese Seite fasst Energie- und Impulsdichte, den Poynting-Vektor und den vollen Maxwell-Spannungstensor zusammen.

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1. Energiefluss (Recall)

Poynting-Vektor:

$$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B},u=\frac{1}{2}({\epsilon }_0|\mathbf{E}{|}^2+|\mathbf{B}{|}^2/{\mu }_0).$$

Poynting-Theorem: ${\partial }_{t}u+\nabla \cdot \mathbf{S}=-\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}$.

Linear polarisierte ebene Welle: E schwingt in x-, B in y-Richtung, beide in Phase. Der Poynting-Vektor S ∝ E × B zeigt in Ausbreitungsrichtung z.

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2. Impulsdichte und Kraftdichte

Impulsdichte (Feld):

$$\mathbf{g}={\epsilon }_0\mathbf{E}\times \mathbf{B}=\mathbf{S}/c^2.$$

Kraftdichte: $\mathbf{f}=\rho \mathbf{E}+\mathbf{J}\times \mathbf{B}$.

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3. Dynamischer Maxwell-Spannungstensor

$$T_{ij}={\epsilon }_0\left(E_i{E}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}|\mathbf{E}{|}^2\right)+\frac{1}{{\mu }_0}\left(B_i{B}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}|\mathbf{B}{|}^2\right).$$

Impulsbilanz (mit diesem Vorzeichen von $T_{ij}$): ${\partial }_t{g}_i-{\partial }_j{T}_{ij}=-f_i$, d. h. $\mathbf{f}+{\partial }_t\mathbf{g}=\nabla \cdot \mathbf{T}$. Gesamtkraft auf Volumen $V$: $\mathbf{F}={\oint }_{\partial V}\mathbf{T}\cdot \mathbf{n}dA-\frac{d}{dt}{\int }_V\mathbf{g}dV$.

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Beispielaufgabe

Aufgabe: Wie kommt die Energie in einen Draht?

Ein gerader Draht (Länge $\ell$, Radius $a$, Widerstand $R$) führt den Gleichstrom $I$. Berechne den Poynting-Vektor an der Drahtoberfläche und den gesamten Energiefluss in den Draht.

Lösung

1. Felder an der Oberfläche: Längs des Drahts $E=U/\ell$ mit $U=IR$ (Tangentialkomponente ist stetig, gilt also auch direkt außen). Das Magnetfeld ist $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$ in $\hat{\mathbf{\phi }}$-Richtung.
2. Richtung: $\hat{\mathbf{z}}\times \hat{\mathbf{\phi }}=-\hat{\mathbf{r}}$ – $\mathbf{S}$ zeigt radial nach innen.
3. Betrag: $S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{UI}{2\pi a\ell }$.
4. Gesamtfluss durch die Mantelfläche $2\pi a\ell$: $P=S\cdot 2\pi a\ell =UI=I^{2}R.$

Merke: Die Energie fließt nicht im Draht entlang, sondern durch das Feld von außen hinein – genau so viel, wie als Wärme frei wird.

4. Hinweise

• In der Statik reduziert sich $T_{ij}$ auf elektrische bzw. magnetische Version (siehe Maxwell-Spannungstensor (Elektrostatik)).
• $\mathbf{S}$ gibt Energieflussrichtung, $\mathbf{g}$ Impulsfluss; wichtig bei Strahlung/Druck.
• Verbindung zur Relativität: Energie-Impuls-Tensor $T^{\mu \nu }$ vereinigt $u$, $\mathbf{S}$, $\mathbf{g}$ und $T_{ij}$.

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5. Verknüpfungen

• Dynamik/Wellen: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.
• Induktion/Energie: Faraday-Induktion (Elektrodynamik), Induktivität und magnetische Energie.
• Relativität: Relativität – Lorentz-Transformation, Minkowski-Raum und Vierervektoren (optional).