Impulsbilanz und Poynting-Vektor

Kerne aus V18: Energie- und Impulsströme des EM-Feldes, dynamische Stress-Tensor-Form, Verbindung zur speziellen Relativität.

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1. Energiefluss (Recall)

Poynting-Vektor:

$$\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B},u=\frac{1}{2}({\epsilon }_0|\mathbf{E}{|}^2+|\mathbf{B}{|}^2/{\mu }_0).$$

Poynting-Theorem: ${\partial }_{t}u+\nabla \cdot \mathbf{S}=-\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}$.

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2. Impulsdichte und Kraftdichte

Impulsdichte (Feld):

$$\mathbf{g}={\epsilon }_0\mathbf{E}\times \mathbf{B}=\mathbf{S}/c^2.$$

Kraftdichte: $\mathbf{f}=\rho \mathbf{E}+\mathbf{J}\times \mathbf{B}$.

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3. Dynamischer Maxwell-Spannungstensor

$$T_{ij}={\epsilon }_0\left(E_i{E}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}|\mathbf{E}{|}^2\right)+\frac{1}{{\mu }_0}\left(B_i{B}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}|\mathbf{B}{|}^2\right).$$

Impulsbilanz (mit diesem Vorzeichen von $T_{ij}$): ${\partial }_t{g}_i-{\partial }_j{T}_{ij}=-f_i$, d. h. $\mathbf{f}+{\partial }_t\mathbf{g}=\nabla \cdot \mathbf{T}$. Gesamtkraft auf Volumen $V$: $\mathbf{F}={\oint }_{\partial V}\mathbf{T}\cdot \mathbf{n}dA-\frac{d}{dt}{\int }_V\mathbf{g}dV$.

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4. Hinweise

• In der Statik reduziert sich $T_{ij}$ auf elektrische bzw. magnetische Version (siehe Maxwell-Spannungstensor (Elektrostatik)).
• $\mathbf{S}$ gibt Energieflussrichtung, $\mathbf{g}$ Impulsfluss; wichtig bei Strahlung/Druck.
• Verbindung zur Relativität: Energie-Impuls-Tensor $T^{\mu \nu }$ vereinigt $u$, $\mathbf{S}$, $\mathbf{g}$ und $T_{ij}$.

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5. Verknüpfungen

• Dynamik/Wellen: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.
• Induktion/Energie: Faraday-Induktion (Elektrodynamik), Induktivität und magnetische Energie.
• Relativität: Relativität – Lorentz-Transformation, Minkowski-Raum und Vierervektoren (optional).