Helmholtz-Zerlegung von Vektorfeldern

Jedes hinreichend schnell abfallende Feld $\mathbf{V}$ (Ausstrahlungsbedingung) lässt sich eindeutig in einen transversalen und einen longitudinalen Anteil zerlegen. Grundlage für die Diskussion der Eichungen.

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1. Zerlegung & Projektoren

$$\mathbf{V}={\mathbf{V}}_T+{\mathbf{V}}_L,\nabla \cdot {\mathbf{V}}_T=0,\nabla \times {\mathbf{V}}_L=0.$$

Ein Wirbel mit Quelle zerfällt in einen wirbelfreien Anteil V_L (radial, Gradientenfeld) und einen quellenfreien Anteil V_T (Zirkulation). Beide sind hier exakt berechnet.

Explizite Projektoren:

$${\mathbf{V}}_T(\mathbf{r})=\nabla \times \int \frac{{\nabla }^{\prime }\times \mathbf{V}({\mathbf{r}}^{\prime })}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },{\mathbf{V}}_L(\mathbf{r})=-\nabla \int \frac{{\nabla }^{\prime }\cdot \mathbf{V}({\mathbf{r}}^{\prime })}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }.$$

Hilfsidentitäten (Indexschreibweise): ${\partial }_i(1/|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|)=-(r_i-r_i^{\prime })/|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3$, ${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{klm}={\delta }_{il}{\delta }_{jm}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}$.

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2. Rechenhinweise

• Ableitungen dürfen unter das Integral, wenn $\mathbf{V}$ schnell genug abfällt.
• Prüfe $\nabla \cdot {\mathbf{V}}_T=0$ und $\nabla \times {\mathbf{V}}_L=0$ explizit als Konsistenzcheck.
• Praktische Anwendung: Projektion einer Stromdichte $\mathbf{j}$ auf ${\mathbf{j}}_T$ (siehe Coulomb-Eichung (Elektrodynamik))

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3. Warum eindeutig – und wozu?

Eindeutigkeit. Angenommen, es gäbe zwei Zerlegungen $\mathbf{V}={\mathbf{V}}_T+{\mathbf{V}}_L={\mathbf{V}}_T^{\prime }+{\mathbf{V}}_L^{\prime }$. Die Differenz $\mathbf{W}={\mathbf{V}}_L-{\mathbf{V}}_L^{\prime }={\mathbf{V}}_T^{\prime }-{\mathbf{V}}_T$ ist dann gleichzeitig wirbelfrei und quellenfrei, also $\mathbf{W}=\nabla \psi$ mit ${\nabla }^2\psi =0$. Fällt $\mathbf{W}$ im Unendlichen ab, muss $\psi$ konstant sein – also $\mathbf{W}=0$.

Im Fourierraum werden die Projektoren algebraisch: mit $\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{k}/k$ ${\tilde{\mathbf{V}}}_L=\hat{\mathbf{k}}(\hat{\mathbf{k}}\cdot \tilde{\mathbf{V}}),{\tilde{\mathbf{V}}}_T=\tilde{\mathbf{V}}-\hat{\mathbf{k}}(\hat{\mathbf{k}}\cdot \tilde{\mathbf{V}}).$ Longitudinal heißt „parallel zu $\mathbf{k}$“, transversal „senkrecht zu $\mathbf{k}$“.

Anwendung: Kontinuitätsgleichung. Weil $\nabla \cdot {\mathbf{J}}_T=0$, gilt $\nabla \cdot \mathbf{J}=\nabla \cdot {\mathbf{J}}_L$ und damit ${\partial }_t\rho +\nabla \cdot {\mathbf{J}}_L=0.$ Der longitudinale Strom ist also vollständig durch die Änderung der Ladungsdichte festgelegt. Nur der transversale Anteil ${\mathbf{J}}_T$ ist „frei“ – er treibt in der Coulomb-Eichung das Vektorpotential und damit die Abstrahlung.

4. Verknüpfungen

• Methoden: Vektoranalysis, Randwertprobleme (Elektrostatik), Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential.
• Gauges: Coulomb-Eichung (Elektrodynamik), Lorenz-Eichung (Elektrodynamik), Poincaré-Eichung (Elektrodynamik).
• Dynamik: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.