Helmholtz-Zerlegung von Vektorfeldern

Jedes hinreichend schnell abfallende Feld $\mathbf{V}$ (Ausstrahlungsbedingung) lässt sich eindeutig in einen transversalen und einen longitudinalen Anteil zerlegen. Diese Seite ist Referenz für ÜB9 und alle Gauge-Diskussionen.

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1. Zerlegung & Projektoren

$$\mathbf{V}={\mathbf{V}}_T+{\mathbf{V}}_L,\nabla \cdot {\mathbf{V}}_T=0,\nabla \times {\mathbf{V}}_L=0.$$

Explizite Projektoren:

$${\mathbf{V}}_T(\mathbf{r})=\nabla \times \int \frac{{\nabla }^{\prime }\times \mathbf{V}({\mathbf{r}}^{\prime })}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },{\mathbf{V}}_L(\mathbf{r})=-\nabla \int \frac{{\nabla }^{\prime }\cdot \mathbf{V}({\mathbf{r}}^{\prime })}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }.$$

Hilfsidentitäten (Indexschreibweise): ${\partial }_i(1/|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|)=-(r_i-r_i^{\prime })/|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3$, ${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{klm}={\delta }_{il}{\delta }_{jm}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}$.

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2. Rechenhinweise (ÜB9)

• Ableitungen dürfen unter das Integral, wenn $\mathbf{V}$ schnell genug abfällt.
• Prüfe $\nabla \cdot {\mathbf{V}}_T=0$ und $\nabla \times {\mathbf{V}}_L=0$ explizit als Konsistenzcheck.
• Praktische Anwendung: Projektion einer Stromdichte $\mathbf{j}$ auf ${\mathbf{j}}_T$ (siehe Coulomb-Eichung (Elektrodynamik))

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3. Verknüpfungen

• Methoden: Vektoranalysis, Randwertprobleme (Elektrostatik), Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential.
• Gauges: Coulomb-Eichung (Elektrodynamik), Lorenz-Eichung (Elektrodynamik), Poincaré-Eichung (Elektrodynamik).
• Dynamik: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.