Indexschreibweise – Summenkonvention, δ und ε

Die Indexschreibweise schreibt Vektorgleichungen komponentenweise, lässt aber die Summenzeichen weg: Jeder Index steht für 1, 2, 3, und ein doppelt vorkommender Index wird automatisch aufsummiert. Damit werden Kreuzprodukte, die Identität ${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$ und Beweise wie $\nabla \times \nabla \varphi =0$ zu wenigen Zeilen – in der Elektrodynamik ist das die Standardsprache für Rechnungen mit Feldern.

Die Idee: ein Index ist eine Platznummer

Ein Vektor hat drei Komponenten, und der Index sagt, welche gemeint ist:

$$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3),a_i,i=1,2,3(1\leftrightarrow x,2\leftrightarrow y,3\leftrightarrow z).$$

Eine Gleichung mit einem freien Index ist damit eine Abkürzung für drei Gleichungen – eine pro Wert des Index. Der Buchstabe ist egal ($a_i$ und $a_k$ bezeichnen dasselbe), nur die Stellung zählt: oben/unten spielt in der euklidischen Vektoranalysis keine Rolle, deshalb schreibt man alle Indizes unten.

Einsteinsche Summenkonvention

Definition

Kommt ein Index in einem Term genau zweimal vor, wird über ihn von 1 bis 3 summiert; das Summenzeichen lässt man weg: $a_i{b}_i\equiv {\sum }_{i=1}^3{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3.$

Ausdruck	ausgeschrieben	Bedeutung
$a_i{b}_i$	$a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$	Skalarprodukt
$A_{ij}{b}_j$	$A_{i1}{b}_1+A_{i2}{b}_2+A_{i3}{b}_3$	Matrix mal Vektor, freier Index $i$
$A_{ii}$	$A_{11}+A_{22}+A_{33}$	Spur der Matrix $A$
${\partial }_i{F}_i$	${\partial }_x{F}_x+{\partial }_y{F}_y+{\partial }_z{F}_z$	Divergenz

Vier Regeln, an denen alles hängt:

1. Zweimal im selben Term heißt Summe. Der Index ist dann gebunden (Summationsindex, englisch dummy index).
2. Einmal heißt stehen lassen. Das ist ein freier Index; er macht aus dem Ausdruck einen Vektor (bzw. bei zwei freien Indizes eine Matrix).
3. Dreimal im selben Term ist ein Fehler. Über einen Index wird höchstens paarweise summiert; ein Ausdruck wie $a_i{b}_i{c}_i$ ist nicht definiert.
4. Freie Indizes müssen auf beiden Seiten übereinstimmen. $A_i=B_i+C_j$ ist falsch, $A_i=B_i+C_i$ richtig.

Faustregel

Zweimal summiert, einmal frei, dreimal falsch. Und: Ein gebundener Index darf in seinem Term umbenannt werden ($a_i{b}_i=a_k{b}_k$) – ein freier Index nicht.

Kronecker-Delta

$${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$$

Das ist die Einheitsmatrix in Indexschreibweise. Seine eigentliche Aufgabe ist das Index-Austauschen:

$${\delta }_{ij}{a}_j=a_i,{\delta }_{ij}{\delta }_{jk}={\delta }_{ik},{\delta }_{ii}=3.$$

• ${\delta }_{ij}{a}_j$: Von den drei Termen der Summe überlebt nur $j=i$, also bleibt $a_i$ stehen. Das Delta „klebt“ die beiden Indizes zusammen.
• ${\delta }_{ii}=3$ ist die Spur der $3\times 3$-Einheitsmatrix; in $d$ Dimensionen entsprechend $d$.
• ${\delta }_{ij}{\delta }_{jk}={\delta }_{ik}$: erst $j$ ersetzen, dann bleibt eine Einheitsmatrix.

Damit schreibt sich zum Beispiel $\nabla \cdot \mathbf{E}={\partial }_i{E}_i$ oder ${\partial }_i({\delta }_{ij}f)={\partial }_{j}f$.

Levi-Civita-Symbol

$${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{ll}+1& (i,j,k)\text{ zyklisch: }(123),(231),(312)\\ -1& (i,j,k)\text{ antizyklisch: }(132),(213),(321)\\ 0& \text{zwei Indizes gleich}\end{array}$$

Links der zyklische Umlauf 1→2→3: dann ist ε = +1. Rechts derselbe Umlauf in Gegenrichtung, also eine ungerade Vertauschung: ε = −1. Sobald zwei Indizes gleich sind, verschwindet ε – ein Kreuzprodukt mit sich selbst ist null.

Merken lässt sich das als Umlauf um ein Dreieck: einmal herum in Zählrichtung ist positiv, zurück negativ. Wichtig sind drei Eigenschaften:

• Total antisymmetrisch: Vertauscht man zwei Indizes, dreht sich das Vorzeichen, ${\epsilon }_{ijk}=-{\epsilon }_{jik}$. Zweimal vertauschen bringt es zurück.
• Zyklisch invariant: ${\epsilon }_{ijk}={\epsilon }_{jki}={\epsilon }_{kij}$ – eine zyklische Verschiebung ist eine gerade Permutation und ändert nichts.
• Kontraktion: ${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{ijk}=6$ (drei zyklische plus drei antizyklische Terme, jeder $+1$).

Damit schreiben sich Kreuzprodukt, Spatprodukt und Determinante ohne Merkregel:

$$\begin{array}{rl}(\mathbf{a}\times \mathbf{b}{)}_i& ={\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k,\\ (\nabla \times \mathbf{F}{)}_i& ={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{F}_k,\\ \mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})& ={\epsilon }_{ijk}{a}_i{b}_j{c}_k,\\ \det A& ={\epsilon }_{ijk}{A}_{1i}{A}_{2j}{A}_{3k}.\end{array}$$

Probe für die erste Formel mit $i=1$: ${\epsilon }_{1jk}{a}_j{b}_k={\epsilon }_{123}{a}_2{b}_3+{\epsilon }_{132}{a}_3{b}_2=a_2{b}_3-a_3{b}_2$ – genau die erste Komponente des Kreuzprodukts.

Typische Falle

${\epsilon }_{ijk}$ ist antisymmetrisch, ${\delta }_{ij}$ symmetrisch. Ein Ausdruck wie ${\epsilon }_{ijk}{a}_j{a}_k$ ist deshalb null: Beim Vertauschen $j\leftrightarrow k$ wechselt $\epsilon$ das Vorzeichen, $a_j{a}_k$ aber nicht. Genau dieses Argument beweist gleich $\nabla \times \nabla \varphi =0$.

Die ε-δ-Identität

Merke

${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$ Der gemeinsame Index (hier $i$) steht in beiden Epsilons an derselben Stelle. Die beiden übrigen Paare werden durch zwei Deltas verdrahtet: einmal gerade ($j$–$m$, $k$–$n$), einmal über Kreuz mit Minus ($j$–$n$, $k$–$m$).

In der allgemeinsten Form, mit dem gemeinsamen Index $i$ an erster Stelle beider Faktoren:

$${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{ilm}={\delta }_{jl}{\delta }_{km}-{\delta }_{jm}{\delta }_{kl}=\left|\begin{array}{cc}{\delta }_{jl}& {\delta }_{jm}\\ {\delta }_{kl}& {\delta }_{km}\end{array}\right|.$$

Warum das gilt. Halte $j,k$ fest und betrachte die linke Seite als Funktion der beiden Indexpaare. Für $j=k$ verschwindet sie, und beim Vertauschen $j\leftrightarrow k$ wechselt sie das Vorzeichen – sie ist also antisymmetrisch in $j$ und $k$, ebenso in $m$ und $n$. Eine in beiden Paaren antisymmetrische Kombination zweier Deltas kann nur ein Vielfaches von ${\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$ sein. Den Faktor liefert ein einziger Testfall, $j=1,k=2,m=1,n=2$:

$$\sum _{i=1}^3{\epsilon }_{i12}{\epsilon }_{i12}={\epsilon }_{312}^2=1,$$ $${\delta }_{11}{\delta }_{22}-{\delta }_{12}{\delta }_{21}=1-0=1.$$

Also ist der Faktor $1$.

Kombinatorik: Warum genau zwei Fälle und warum das Minuszeichen?

Man kann sich die Identität auch direkt kombinatorisch klarmachen:

1. Welche Indizes überleben?
   Damit ${\epsilon }_{kij}{\epsilon }_{klm}\ne 0$ ist, müssen $i\ne j$ sein. Im dreidimensionalen Raum gibt es für das Indexpaar $(i,j)$ genau einen verbleibenden Wert für $k$ (ist z. B. $i=1,j=2$, so muss $k=3$ sein). Im zweiten Tensor müssen $l$ und $m$ wiederum die beiden restlichen Werte annehmen – also dieselben Zahlen wie $\{i,j\}$. Es gibt folglich nur zwei Möglichkeiten:
   • Fall 1: $l=i$ und $m=j$ (gleiche Reihenfolge)
   • Fall 2: $l=j$ und $m=i$ (vertauschte Reihenfolge)
2. Warum kein Mal ($\cdot$)?
   Weil $i\ne j$ gilt, schließen sich Fall 1 und Fall 2 gegenseitig aus (sie sind disjunkt). Tritt Fall 1 ein, ist ${\delta }_{im}{\delta }_{jl}=0$. Ein Produkt $(\text{Fall 1})\cdot (\text{Fall 2})$ wäre stets null. Disjunkte Fälle werden addiert, nicht multipliziert.
3. Warum steht in der Mitte ein Minuszeichen?
   Bringen wir den gemeinsamen Index $k$ an die erste Stelle: ${\epsilon }_{kij}{\epsilon }_{klm}$.
   • In Fall 1 ist $(l,m)=(i,j)$: Wir berechnen ${\epsilon }_{kij}{\epsilon }_{kij}=({\epsilon }_{kij}{)}^2=+1$.
   • In Fall 2 ist $(l,m)=(j,i)$: Durch die Vertauschung der Indizes greift die totale Antisymmetrie, ${\epsilon }_{kji}=-{\epsilon }_{kij}$. Das Produkt liefert ${\epsilon }_{kij}(-{\epsilon }_{kij})=-({\epsilon }_{kij}{)}^2=-1$.
   • Fasst man beide Fälle zusammen, gewichtet mit ihrem Vorzeichen, entsteht exakt: $\text{Wert}=(+1)\cdot ({\delta }_{il}{\delta }_{jm})+(-1)\cdot ({\delta }_{im}{\delta }_{jl})={\delta }_{il}{\delta }_{jm}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}.$

Merke

Das Minuszeichen ist der direkte Fingerabdruck der Antisymmetrie: Eine Vertauschung zweier Indizes im Levi-Civita-Symbol kehrt das Vorzeichen um.

Reihenfolge der Indizes

Die Identität gilt nur, wenn der gemeinsame Index in beiden Epsilons an derselben Position steht. Steht er – wie im Beweis unten – an verschiedenen Stellen, erst zyklisch umsortieren: ${\epsilon }_{ijk}={\epsilon }_{kij}$, dann paaren. Eine ungerade Umsortierung würde das Vorzeichen der rechten Seite kippen.

BAC-CAB in Indexschreibweise

Zu zeigen ist die Grassmann-Identität (englisch BAC-CAB rule):

$$\mathbf{A}\times (\mathbf{B}\times \mathbf{C})=\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}).$$

Geometrische Bedeutung

Der Vektor $\mathbf{n}=\mathbf{B}\times \mathbf{C}$ steht senkrecht auf der von $\mathbf{B}$ und $\mathbf{C}$ aufgespannten Ebene. Das erneute Kreuzprodukt $\mathbf{A}\times \mathbf{n}$ steht senkrecht auf dieser Flächennormalen $\mathbf{n}$ – es muss also zwingend wieder in der Ebene von $\mathbf{B}$ und $\mathbf{C}$ liegen. Das doppelte Kreuzprodukt lässt sich daher immer als Linearkombination aus $\mathbf{B}$ und $\mathbf{C}$ darstellen; die Koeffizienten liefern die Skalarprodukte.

Der Beweis läuft komponentenweise; am Ende steht für jedes $i$ die richtige Komponente, also gilt die Vektorgleichung.

$$\begin{array}{rl}[\mathbf{A}\times (\mathbf{B}\times \mathbf{C}){]}_i& ={\epsilon }_{ijk}{A}_j(\mathbf{B}\times \mathbf{C}{)}_k\\ & ={\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{kmn}{A}_j{B}_m{C}_n\\ & ={\epsilon }_{kij}{\epsilon }_{kmn}{A}_j{B}_m{C}_n\\ & =({\delta }_{im}{\delta }_{jn}-{\delta }_{in}{\delta }_{jm})A_j{B}_m{C}_n\\ & =A_n{B}_i{C}_n-A_m{B}_m{C}_i\\ & =B_i(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C})-C_i(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}).\end{array}$$

Schritt für Schritt:

1. Äußeres Kreuzprodukt mit $(i,j,k)$ aufschreiben: $[\mathbf{A}\times \mathbf{X}{]}_i={\epsilon }_{ijk}{A}_j{X}_k$ mit $\mathbf{X}=\mathbf{B}\times \mathbf{C}$.
2. Inneres Kreuzprodukt einsetzen: $(\mathbf{B}\times \mathbf{C}{)}_k={\epsilon }_{kmn}{B}_m{C}_n$. Jetzt stehen zwei Epsilons da, der gemeinsame Index ist $k$.
3. Der gemeinsame Index $k$ steht an dritter bzw. erster Stelle. Zyklisch umsortieren (${\epsilon }_{ijk}={\epsilon }_{kij}$, Vorzeichen bleibt) bringt ihn in die Merkform.
4. ε-δ-Identität mit $k$ als gemeinsamem Index: ${\epsilon }_{kij}{\epsilon }_{kmn}={\delta }_{im}{\delta }_{jn}-{\delta }_{in}{\delta }_{jm}$.
5. Deltas auswerten: ${\delta }_{im}$ setzt $m=i$, ${\delta }_{jn}$ setzt $j=n$ – es bleibt $A_n{B}_i{C}_n$. Im zweiten Term setzt ${\delta }_{in}$ das $i=n$ und ${\delta }_{jm}$ das $j=m$, also $A_m{B}_m{C}_i$.
6. Zusammensetzen: $A_n{C}_n=\mathbf{A}\cdot \mathbf{C}$ ist ein Skalar, $B_i$ und $C_i$ sind Komponenten. Fertig.

Andere Benennung, gleicher Beweis

Oft wird derselbe Beweis mit anderen Buchstaben notiert, etwa mit ${\epsilon }_{jmn}{\epsilon }_{jki}$ als Zwischenschritt. Die Rechnung ist identisch, nur der gemeinsame Index heißt anders – beim Abschreiben alle Indizes konsistent halten, sonst kippt genau dort das Vorzeichen.

rot grad = 0

Ein Gradientenfeld ist wirbelfrei:

$$\nabla \times \nabla \varphi =0.$$

In Indexschreibweise ist das eine Einzeiler-Begründung. Mit $(\nabla \varphi {)}_k={\partial }_k\varphi$:

$$(\nabla \times \nabla \varphi {)}_i={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j({\partial }_k\varphi )={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{\partial }_k\varphi .$$

Die zweite Ableitung ist symmetrisch in $j$ und $k$ (Satz von Schwarz, $\varphi$ zweimal stetig differenzierbar), ${\epsilon }_{ijk}$ ist antisymmetrisch – symmetrisch mal antisymmetrisch summiert ergibt null. Explizit, ohne dieses Argument:

$$\begin{array}{rl}{\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{\partial }_k\varphi & =\frac{1}{2}{\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{\partial }_k\varphi +\frac{1}{2}{\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{\partial }_k\varphi \\ & =\frac{1}{2}{\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{\partial }_k\varphi +\frac{1}{2}{\epsilon }_{ikj}{\partial }_k{\partial }_j\varphi \\ & =\frac{1}{2}{\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{\partial }_k\varphi -\frac{1}{2}{\epsilon }_{ijk}{\partial }_j{\partial }_k\varphi =0.\end{array}$$

In der zweiten Zeile wurden im zweiten Term nur die Summationsindizes $j\leftrightarrow k$ umbenannt; in der dritten ${\epsilon }_{ikj}=-{\epsilon }_{ijk}$ benutzt.

Physikalisch: Deshalb gibt es in der Elektrostatik ein Potential mit $\mathbf{E}=-\nabla \varphi$, und $\nabla \times \mathbf{E}=0$ ist automatisch erfüllt.

div rot = 0

Ein Wirbelfeld ist quellenfrei:

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0.$$

Mit $(\nabla \times \mathbf{F}{)}_k={\epsilon }_{kmn}{\partial }_m{F}_n$ und ${\partial }_k$ von außen:

$${\partial }_k(\nabla \times \mathbf{F}{)}_k={\partial }_k{\epsilon }_{kmn}{\partial }_m{F}_n={\epsilon }_{kmn}{\partial }_k{\partial }_m{F}_n=0,$$

weil ${\partial }_k{\partial }_m$ symmetrisch und ${\epsilon }_{kmn}$ antisymmetrisch in $k,m$ ist. Hier sind beide Indizes, über die das Argument läuft, Summationsindizes – genau das macht die Symmetrie argumentierbar.

Physikalisch: Deshalb lässt sich das Magnetfeld als Rotation eines Vektorpotentials schreiben, $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$, und $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$ ist dann automatisch erfüllt.

Doppelte Rotation rot rot

Dieselbe Maschinerie liefert die zentrale Identität für die Vektoranalysis und Wellengleichung:

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{F})-{\nabla }^2\mathbf{F}.$$

Die Herleitung läuft schrittweise analog zu BAC-CAB, wobei der Nabla-Operator $\nabla$ als partielle Ableitung ${\partial }_j$ wirkt:

1. Äußere Rotation: $[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}){]}_i={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j(\nabla \times \mathbf{F}{)}_k$.
2. Innere Rotation einsetzen (frische Dummy-Indizes $l,m$ wählen): $[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}){]}_i={\epsilon }_{ijk}{\partial }_j({\epsilon }_{klm}{\partial }_l{F}_m)={\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{klm}{\partial }_j{\partial }_l{F}_m.$ (Die konstanten Tensoren ${\epsilon }_{klm}$ dürfen vor die Ableitung gezogen werden.)
3. ε-δ-Identität einsetzen: Mit ${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{klm}={\delta }_{il}{\delta }_{jm}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}$ folgt: $[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}){]}_i=({\delta }_{il}{\delta }_{jm}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}){\partial }_j{\partial }_l{F}_m={\delta }_{il}{\delta }_{jm}{\partial }_j{\partial }_l{F}_m-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}{\partial }_j{\partial }_l{F}_m.$
4. Kronecker-Deltas auswerten:
   • Im ersten Term: $l\to i$ und $m\to j⟹{\partial }_j{\partial }_i{F}_j$.
   • Im zweiten Term: $m\to i$ und $l\to j⟹{\partial }_j{\partial }_j{F}_i$.
5. Satz von Schwarz anwenden: Da die partiellen Ableitungen vertauschen (${\partial }_j{\partial }_i={\partial }_i{\partial }_j$), wird der erste Term zum Gradienten der Divergenz: ${\partial }_i({\partial }_j{F}_j)=[\nabla (\nabla \cdot \mathbf{F}){]}_i.$ Der zweite Term ist die komponentenweise Wirkung des Laplace-Operators: ${\partial }_j{\partial }_j{F}_i={\nabla }^2{F}_i=({\nabla }^2\mathbf{F}{)}_i.$

Zusammengesetzt ergibt sich exakt: $[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}){]}_i=[\nabla (\nabla \cdot \mathbf{F}){]}_i-({\nabla }^2\mathbf{F}{)}_i⟺\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{F})-{\nabla }^2\mathbf{F}.$

Physikalische Bedeutung

In der Elektrodynamik ist diese Identität der Schlüssel zur Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung: Wendet man die Rotation auf das Faradaysche Induktionsgesetz an ($\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=-{\partial }_t(\nabla \times \mathbf{B})$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=-\frac{1}{c}{\partial }_t(\nabla \times \mathbf{B})$) und nutzt im Vakuum $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$ sowie $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0{\epsilon }_0{\partial }_t\mathbf{E}$$\nabla \times \mathbf{B}=\frac{1}{c}{\partial }_t\mathbf{E}$, fällt die linke Seite auf $-{\nabla }^2\mathbf{E}$ zusammen – und liefert unmittelbar ${\nabla }^2\mathbf{E}-{\mu }_0{\epsilon }_0{\partial }_t^2\mathbf{E}=0$${\nabla }^2\mathbf{E}-\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2\mathbf{E}=0$.

Beispielaufgabe

Aufgabe: Lagrange-Identität

Zeige mit Indexschreibweise: $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot (\mathbf{c}\times \mathbf{d})=(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot \mathbf{d})-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{d})(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}).$

Lösung

1. Skalarprodukt als Summe über einen Index, jedes Kreuzprodukt mit $\epsilon$: $(\mathbf{a}\times \mathbf{b}{)}_i(\mathbf{c}\times \mathbf{d}{)}_i={\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k{\epsilon }_{imn}{c}_m{d}_n.$
2. ε-Paar mit gemeinsamem Index $i$ an erster Stelle: die Identität passt direkt. ${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$
3. Einsetzen und die Deltas auswerten: $({\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km})a_j{b}_k{c}_m{d}_n=(a_j{c}_j)(b_k{d}_k)-(a_j{d}_j)(b_k{c}_k).$
4. Die Klammern sind Skalarprodukte: $=(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot \mathbf{d})-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{d})(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}).$

Merke: Ein ε-Paar liefert immer zwei Arten, die vier Vektoren zu paaren; das Minuszeichen sagt, welche Paarung abgezogen wird. Ein Vorzeichenfehler hier ist fast immer eine ungerade Indexvertauschung.

Selbsttest

Hake ab, was du sicher kannst – der Stand bleibt in deinem Browser gespeichert.

• Ich kann erklären, warum ein Index nur zweimal pro Term vorkommen darf und was ein freier Index ist.
• Ich kann ${\delta }_{ij}{a}_j=a_i$, ${\delta }_{ii}=d$ und ${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{ijk}=6$ begründen.
• Ich schreibe $(\mathbf{a}\times \mathbf{b}{)}_i$, $(\nabla \times \mathbf{F}{)}_i$ und $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$ ohne Nachschlagen hin.
• Ich kann die ε-δ-Identität mit dem Symmetrie-Argument und einem Testfall herleiten.
• Ich führe den BAC-CAB-Beweis in einem Zug, ohne die Zeilen abzuschreiben.
• Ich begründe $\nabla \times \nabla \varphi =0$ und $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0$ in je zwei Zeilen.

Siehe auch

• Vektoranalysis – dieselben Operatoren und Identitäten in ausgeschriebener Form, plus Kugel- und Zylinderkoordinaten
• Magnetostatik - Grundgleichungen – $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$, $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}$$\nabla \times \mathbf{B}=\frac{4\pi }{c}\mathbf{J}$ und das Vektorpotential als Anwendung
• Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder) – Projektorformeln, die ebenfalls mit $\delta$ und $\epsilon$ argumentieren
• Formelsammlung – alle Formeln dieser Seite kompakt auf einer Seite