Lorenz-Eichung (Elektrodynamik)

Eichbedingung: $\nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c^2}{\partial }_t\varphi =0$. Führt zu entkoppelten Wellengleichungen für beide Potentiale und ist manifest kovariant.

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1. Wellengleichungen

$$\square \varphi =-\rho /{\epsilon }_0,\square \mathbf{A}=-{\mu }_0\mathbf{J},\square ={\nabla }^2-c^{-2}{\partial }_t^2.$$

Felder: $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A}$, $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$.

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2. Herleitung der Wellengleichungen

Setzt man $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen ein, erhält man zunächst gekoppelte Gleichungen: ${\nabla }^2\varphi +{\partial }_t(\nabla \cdot \mathbf{A})=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0},$ ${\nabla }^2\mathbf{A}-\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2\mathbf{A}-\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c^2}{\partial }_t\varphi \right)=-{\mu }_0\mathbf{J}.$ Die Lorenz-Bedingung macht die Klammer in der zweiten Gleichung zu null, und in der ersten wird ${\partial }_t(\nabla \cdot \mathbf{A})=-\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2\varphi$. Übrig bleiben die entkoppelten Wellengleichungen aus Abschnitt 1.

Erreichbarkeit: Für beliebige Potentiale löst man $\square \chi =-\left(\nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c^2}{\partial }_t\varphi \right);$ die transformierten Potentiale $\mathbf{A}+\nabla \chi$, $\varphi -{\partial }_t\chi$ erfüllen dann die Lorenz-Bedingung. Es bleibt eine Resteichfreiheit mit $\square \chi =0$.

3. Retardierte Potentiale (Standardform)

$$\varphi (\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },$$

mit $t_r=t-|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|/c$.

Eine Änderung der Quelle bei r′ breitet sich als Kugelwelle mit Lichtgeschwindigkeit aus. Am Aufpunkt r zählt zur Zeit t deshalb der Zustand der Quelle zur früheren Zeit t_r. Für jedes r′ ist die Laufzeit |r − r′|/c eine andere.

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4. Vergleich zu Coulomb- und Poincaré-Eichung

• Quellen: ganze $\mathbf{J}$ wirkt direkt (kein Projektor nötig), aber $\varphi$ koppelt zeitlich via ${\partial }_t\varphi$-Term.
• Für quasistatische Probleme ist Coulomb bequemer; für Strahlung/Relativität Lorenz meist natürlicher.
• Poincaré bietet direkte Feldintegrale, ist aber speziell.

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5. Verknüpfungen

• Dynamik/Wellen: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.
• Projektoren: Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder).
• Weitere Gauges: Coulomb-Eichung (Elektrodynamik), Poincaré-Eichung (Elektrodynamik).
• Anwendungen: Strahlung (Dipol, Liénard–Wiechert) → 7. Strahlung (Kurzreferenz).