Lorenz-Eichung (Elektrodynamik)

Eichbedingung: $\nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c^2}{\partial }_t\varphi =0$. Führt zu entkoppelten Wellengleichungen für beide Potentiale und ist manifest kovariant.

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1. Wellengleichungen

$$\square \varphi =-\rho /{\epsilon }_0,\square \mathbf{A}=-{\mu }_0\mathbf{J},\square ={\nabla }^2-c^{-2}{\partial }_t^2.$$

Felder: $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A}$, $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$.

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2. Retardierte Potentiale (Standardform)

$$\varphi (\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },$$

mit $t_r=t-|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|/c$.

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3. Vergleich zu Coulomb- und Poincaré-Eichung

• Quellen: ganze $\mathbf{J}$ wirkt direkt (kein Projektor nötig), aber $\varphi$ koppelt zeitlich via ${\partial }_t\varphi$-Term.
• Für quasistatische Probleme ist Coulomb bequemer; für Strahlung/Relativität Lorenz meist natürlicher.
• Poincaré bietet direkte Feldintegrale, ist aber speziell.

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4. Verknüpfungen

• Dynamik/Wellen: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.
• Projektoren: Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder).
• Weitere Gauges: Coulomb-Eichung (Elektrodynamik), Poincaré-Eichung (Elektrodynamik).
• Anwendungen: Strahlung (Dipol, Liénard–Wiechert) → 7. Strahlung (Kurzreferenz).