Lernpfad 5: Potentiale, Eichungen & Relativität

Potentiale sind nicht eindeutig – die Wahl der Eichung entscheidet, wie einfach die Gleichungen werden. Die Lorenz-Eichung führt direkt zur kovarianten Formulierung und damit zur speziellen Relativität.

Voraussetzungen

Lernpfad 4.

Die Schritte

1. Helmholtz-Zerlegung (Vektorfelder)
   Longitudinale und transversale Anteile eines Vektorfelds.
2. Coulomb-Eichung (Elektrodynamik)
   $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$: instantanes $\varphi$, transversaler Strom.
3. Lorenz-Eichung (Elektrodynamik)
   Entkoppelte Wellengleichungen, retardierte Potentiale.
4. Poincaré-Eichung (Elektrodynamik)
   Potentiale als Linienintegrale über die Felder.
5. Relativität – Lorentz-Transformation
   Postulate, Boosts, Zeitdilatation, Längenkontraktion.
6. Minkowski-Raum und Vierervektoren
   Metrik, Vierervektoren, Viererstrom und -potential.

Selbsttest

Hake ab, was du sicher kannst – der Stand bleibt in deinem Browser gespeichert.

• Ich weiß, warum $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$ unter $\mathbf{A}\to \mathbf{A}+\nabla \chi$, $\varphi \to \varphi -{\partial }_t\chi$ unverändert bleiben.
• Ich kann zeigen, dass die Lorenz-Eichung entkoppelte Wellengleichungen für $\varphi$ und $\mathbf{A}$ liefert.
• Ich kann erklären, warum das instantane $\varphi$ der Coulomb-Eichung die Kausalität nicht verletzt.
• Ich kann die Lorentz-Transformation für einen Boost in $x$-Richtung aufschreiben und die Invarianz von $s^2$ zeigen.
• Ich kann die Lorenz-Eichung kovariant als ${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$ schreiben.

Häufige Fehler

• Resteichung: Auch nach Wahl der Lorenz-Eichung bleibt Freiheit mit $\square \chi =0$.
• Wer misst was? Eigenzeit und Ruhelänge gehören zum System, in dem Uhr bzw. Stab ruhen.
• Metrik-Signatur: $(+,-,-,-)$ durchgehend verwenden, sonst kippen Vorzeichen bei $x_{\mu }$.

Geschafft

Du hast alle Lernpfade durch. Zum Wiederholen eignet sich der Spickzettel in Elektrostatik und die Übersicht in Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.