Relativität – Lorentz-Transformation

Kerne aus V19/V20: Einsteins Relativitätsprinzip, konstante Lichtgeschwindigkeit, Lorentz-Trafo (Boosts), Basis für kovariante Maxwell-Darstellung.

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1. Postulate

1. Physik ist in allen Inertialsystemen gleich (Relativitätsprinzip).
2. Lichtgeschwindigkeit $c$ ist in allen Inertialsystemen konstant.

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2. Lorentz-Boost (1D, Geschwindigkeit $v$ entlang $x$)

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}},\beta =v/c;\begin{array}{rl}c{t}^{\prime }& =\gamma (ct-\beta x),\\ x^{\prime }& =\gamma (x-\beta ct),\\ y^{\prime }& =y,z^{\prime }=z.\end{array}$$

Inverse: $\beta \to -\beta$. Galilei-Grenze $v\ll c$ → $x^{\prime }=x-vt$, $t^{\prime }=t$.

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3. Konsequenzen

• Zeitdilatation: $\Delta t=\gamma \Delta \tau$; die Eigenzeit $\Delta \tau$ einer bewegten Uhr ist kürzer als die Koordinatenzeit $\Delta t$.
• Längenkontraktion: $L=L_0/\gamma$ entlang der Bewegungsrichtung ($L_0$ = Ruhelänge).
• Relativität der Gleichzeitigkeit.

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4. Minkowski-Raum (Kurzverweis)

Vierervektoren $x^{\mu }=(ct,\mathbf{x})$, Metrik $\eta =\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$, Invariante $s^2=c^2{t}^2-|\mathbf{x}{|}^2$. Siehe Minkowski-Raum und Vierervektoren.

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5. Verknüpfungen

• EM-Kovarianz: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen (Maxwell bleibt forminvariant).
• Experimente: Michelson–Morley (Null-Resultat), Lichtuhren-Denken für $c=\text{const}$.
• Vierervektoren & Poincaré-Gruppe: Minkowski-Raum und Vierervektoren.