Elektrodynamik – Dynamik und Wellen

Kompakte Sammelnotiz für zeitabhängige Maxwell-Gleichungen, Potentiale, Eichungen und EM-Wellen. Ergänzt die statischen Seiten (Elektrostatik, Magnetostatik - Grundgleichungen), die Werkzeugseiten (Vektoranalysis, Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential) und verweist auf prüfungsrelevante Methoden.

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1. Dynamische Maxwell-Gleichungen (SI)

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{E}& =\rho /{\epsilon }_0,\\ \nabla \cdot \mathbf{B}& =0,\\ \nabla \times \mathbf{E}& =-{\partial }_t\mathbf{B},\\ \nabla \times \mathbf{B}& ={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0{\partial }_t\mathbf{E}.\end{array}$$

Kontinuitätsgleichung: ${\partial }_t\rho +\nabla \cdot \mathbf{J}=0$ folgt automatisch.

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2. Potentiale und Eichungen

• Definition: $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$, $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A}$.
• Eichfreiheit: $\mathbf{A}\to \mathbf{A}+\nabla \chi$, $\varphi \to \varphi -{\partial }_t\chi$.

Lorenz-Eichung $\nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c^2}{\partial }_t\varphi =0$

$$\square \varphi =-\rho /{\epsilon }_0,\square \mathbf{A}=-{\mu }_0\mathbf{J},\square ={\nabla }^2-c^{-2}{\partial }_t^2.$$

Coulomb-Eichung $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$ → siehe Coulomb-Eichung (Elektrodynamik).

Poincaré-Eichung (radial) $\mathbf{r}\cdot {\mathbf{A}}_p=0$ → siehe Poincaré-Eichung (Elektrodynamik).

Eichwechsel: $\chi$ so wählen, dass die jeweilige Bedingung erfüllt ist; erhalte neue $\varphi ,\mathbf{A}$ via Transformation. ÜB 9 prüft diese Zusammenhänge explizit.

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3. Retardierte Potentiale (Lorenz-Eichung)

Für Quellen $\rho ,\mathbf{J}$:

$$\varphi (\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\mathbf{J}({\mathbf{r}}^{\prime },t_r)}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime },$$

mit retardierter Zeit $t_r=t-|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|/c$. Leitet direkt Wellengleichungen und Fernfeld ab; Spezialfall: Liénard–Wiechert-Potentiale bewegter Punktladungen.

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4. Wellengleichungen und Lösungen

• Vakuum: $\square \mathbf{E}=0$, $\square \mathbf{B}=0$ (quellenfrei).
• Lineare Materie: $c\to c/n$ mit $n^2={\epsilon }_r{\mu }_r$ (Dispersionsrelation ggf. frequenzabhängig).

Ebene Welle (Vakuum, $k=\omega /c$):

$$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\Re \{{\mathbf{E}}_0{e}^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)}\},\mathbf{B}=\frac{1}{\omega }\mathbf{k}\times \mathbf{E},\mathbf{k}\cdot \mathbf{E}=0.$$

Polarisation: linear, zirkular, elliptisch; Jones-Vektoren; Stokes-Parameter optional.

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5. Randbedingungen im Zeitbereich

Aus Maxwell folgen (mit Normalen $\mathbf{n}$):

• $\mathbf{n}\cdot ({\mathbf{B}}_2-{\mathbf{B}}_1)=0$,
• $\mathbf{n}\times ({\mathbf{E}}_2-{\mathbf{E}}_1)=0$ (keine Sprungquelle),
• $\mathbf{n}\cdot ({\epsilon }_2{\mathbf{E}}_2-{\epsilon }_1{\mathbf{E}}_1)={\sigma }_{\text{frei}}$,
• $\mathbf{n}\times ({\mathbf{H}}_2-{\mathbf{H}}_1)={\mathbf{K}}_{\text{frei}}$.

Anwendung: Reflexion/Transmission an Grenzflächen, Wellenleiter-Moden, Einstrahlung in Materialien.

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6. Energie- und Impulsbilanz

• Poynting-Vektor: $\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$.
• Energiedichte: $u=\frac{1}{2}({\epsilon }_0|\mathbf{E}{|}^2+|\mathbf{B}{|}^2/{\mu }_0)$.
• Poynting-Theorem: ${\partial }_{t}u+\nabla \cdot \mathbf{S}=-\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}$.
• Maxwell-Spannungstensor (dynamisch): $T_{ij}={\epsilon }_0(E_i{E}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}|\mathbf{E}{|}^2)+(1/{\mu }_0)(B_i{B}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}|\mathbf{B}{|}^2)$.

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7. Strahlung (Kurzreferenz)

• Dipolstrahlung (Dipolmoment $\mathbf{p}(t)$): $${\mathbf{E}}_{\text{rad}}(r,t)\approx \frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\hat{\mathbf{r}}\times (\hat{\mathbf{r}}\times \ddot{\mathbf{p}}(t_r))}{r},{\mathbf{B}}_{\text{rad}}=\hat{\mathbf{r}}\times {\mathbf{E}}_{\text{rad}}/c.$$
• Abstrahlleistung (Larmor): $P=\frac{{\mu }_0}{6\pi c}|\ddot{\mathbf{p}}{|}^2$.

Nutze dies als Fernfeld-Test für Lösungen aus retardierten Potentialen; für bewegte Punktladungen → Liénard–Wiechert.

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8. Prüfungsanker

• Helmholtz-Zerlegung sauber beherrschen (ÜB 9).
• Gaußsche vs. Wellengleichungen konsistent setzen; prüfe Eichbedingungen.
• Retardierte Potentiale einsetzen können (mind. stationäre Quellen, Dipol-Approx).
• Plane Welle: Polarisationsbedingungen und Poynting-Fluss ausrechnen.
• Grenzfläche: Fresnel-Koeffizienten qualitativ, Energieerhaltung mit $\mathbf{S}$.
• Lorenz- vs. Coulomb-Eichung: wann welche Quelle wirkt ($\rho$, ${\mathbf{j}}_T$).

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9. Verknüpfungen

• Statik: Elektrostatik, Magnetostatik - Grundgleichungen, Elektrostatik in Materie, Dielektrika (Elektrostatik).
• Methoden: Vektoranalysis, Randwertprobleme (Elektrostatik), Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential, Multipolentwicklung (Elektrostatik).
• Induktion/Magnetenergie: Faraday-Induktion (Elektrodynamik), Induktivität und magnetische Energie.
• Kräfte/Energie/Impuls: Maxwell-Spannungstensor (Elektrostatik), Impulsbilanz und Poynting-Vektor.
• Relativität: Relativität – Lorentz-Transformation, Minkowski-Raum und Vierervektoren.
• Übungen (WS 25/26): HA 9 (Helmholtz, Eichungen).