Faraday-Induktion – Flux- und Bewegungsinduktion

Ändert sich der magnetische Fluss durch eine Leiterschleife, entsteht eine Ringspannung – im ruhenden Leiter durch ein elektrisches Wirbelfeld, im bewegten Leiter durch die Lorentzkraft (Bewegungsinduktion).

---

1. Faradaysches Gesetz

Integralform (orientierte Fläche $A$, Rand $\partial A$):

$${\oint }_{\partial A}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell }=-\frac{d}{dt}{\int }_A\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=-\frac{d{\Phi }_B}{dt}.$$

Differentialform:

$$\nabla \times \mathbf{E}=-{\partial }_t\mathbf{B}.$$

Vorzeichen (Lenz): induzierte $\mathbf{E}$ wirkt Flussänderung entgegen.

Nimmt der Fluss durch A zu, läuft das induzierte E entgegen der zu dA passenden Umlaufrichtung. Ein Strom in dieser Richtung erzeugt ein Gegenfeld B_ind (Lenzsche Regel).

---

2. Bewegte Leiter (motional emf)

Für Leitergeschwindigkeit $\mathbf{v}$:

$$\mathcal{E}=\oint (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{\ell }.$$

Der Term $\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ stammt aus der Lorentzkraft. Beide Bilder (Flussänderung vs. Bewegung) sind äquivalent.

---

3. Typische Setups

• Stationäre Schleife, zeitabhängiges $B(t)$ → reine Wirbel-$\mathbf{E}$.
• Bewegter Stab im homogenen $\mathbf{B}$: $\mathcal{E}=B\ell v$ (Richtung per Rechte-Hand-Regel).
• Generator/Dynamo: rotierende Schleifen → sinusförmige EMK.
• Transformatorprinzip: gekoppelte Spulen, ${\mathcal{E}}_2=-Md{I}_1/dt$ (siehe Induktivität und magnetische Energie).

---

Beispielaufgabe

Aufgabe: Gleitender Stab auf Schienen

Zwei parallele Schienen im Abstand $\ell$ sind über einen Widerstand $R$ verbunden. Ein Stab gleitet mit Geschwindigkeit $v$ über die Schienen, senkrecht dazu steht ein homogenes Feld $B$. Bestimme Spannung, Strom und die Kraft auf den Stab, und prüfe die Energiebilanz.

Lösung

1. EMK: Die Fläche wächst mit $dA/dt=\ell v$, also $\mathcal{E}=\frac{d\Phi }{dt}=B\ell v$ (gleiches Ergebnis über $\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ im Stab).
2. Strom: $I=\frac{B\ell v}{R}$.
3. Kraft: $F=I\ell B=\frac{B^2{\ell }^{2}v}{R}$, entgegen der Bewegung (Lenzsche Regel: der Strom bremst die Flussänderung).
4. Energiebilanz: Um $v$ konstant zu halten, muss man mit $F$ ziehen. Mechanische Leistung $Fv=\frac{B^2{\ell }^2{v}^2}{R}=I^{2}R$ – genau die im Widerstand umgesetzte Leistung.

Merke: Das Vorzeichen aus Lenz ist Energieerhaltung: Würde der Strom den Stab beschleunigen, entstünde Energie aus dem Nichts.

4. Energiefluss

Induktion erzeugt Wirbel-$\mathbf{E}$; Arbeit pro Umlauf: $W=q\mathcal{E}$. Energieübertrag durch Poynting-Vektor $\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ (siehe Impulsbilanz und Poynting-Vektor).

---

5. Verknüpfungen

• Maxwell: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.
• Kopplung an Kreise: Induktivität und magnetische Energie.
• Randbedingungen/Wirbelfelder: Vektoranalysis, Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential.