Green-Funktionen (Elektrostatik)

Kurzer Spickzettel für Green-Funktionen $G(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })$ in typischen Geometrien. Dient als Referenz für Randwertprobleme (Elektrostatik), Spiegelmethode (Elektrostatik), Multipolentwicklung (Elektrostatik) und numerische Löser.

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1. Freier Raum ($G_0$)

$$G_0(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$$

$$G_0(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=-\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$$

• Eigenschaften: ${\nabla }^2{G}_0=-\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })$${\nabla }^2{G}_0=+\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })$; fällt wie $1/r$.
• Symmetrie: $G_0(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=G_0({\mathbf{r}}^{\prime },\mathbf{r})$.
• Potential: $\varphi (\mathbf{r})=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\int }_V\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })G_0(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_V\frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$$\varphi (\mathbf{r})=-4\pi {\int }_V\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })G_0(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }={\int }_V\frac{\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$.

Zwei Konventionen für $G$

Die Identität ${\nabla }^2\frac{1}{r}=-4\pi \delta (\mathbf{r})$ ist reine Mathematik und gilt in beiden Systemen; unterschiedlich ist nur, welches Vorzeichen man $G$ gibt.

	$G_0$	Gleichung für $G$	Poisson
SI (Wiki)	$+\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$	${\nabla }^{2}G=-\delta$	${\nabla }^2\varphi =-\rho /{\epsilon }_0$
Gauß (Vorlesung WiSe 26/27)	$-\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$	$\Delta G=+\delta$	$\Delta \varphi =-4\pi \rho$

$G$ und Quellterm müssen immer paarweise aus derselben Konvention stammen. Mit dem Umschalter oben wechseln alle Formeln dieser Seite gemeinsam.

2. Geerdete Ebene (Halbraum, Spiegelmethode)

$$G_{\text{Ebene}}(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=\frac{1}{4\pi }\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}-\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime \ast }|}\right)$$

$$G_{\text{Ebene}}(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=-\frac{1}{4\pi }\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}-\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime \ast }|}\right)$$

• ${\mathbf{r}}^{\prime \ast }$: Spiegelpunkt an der Ebene ($z\to -z$).
• Dirichlet-RB $\varphi (z=0)=0$ automatisch erfüllt.

3. Kugel (geerdet, Radius $R$)

Innenraum $r,r^{\prime }<R$ (Dirichlet $G=0$ bei $r=R$), geschlossen per Spiegelladung $-R/r^{\prime }$ bei ${\mathbf{r}}^{\prime \prime }=(R^2/r^{\prime 2}){\mathbf{r}}^{\prime }$:

$$G_{\text{Kugel}}(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=\frac{1}{4\pi }\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}-\frac{R/r^{\prime }}{|\mathbf{r}-\frac{R^2}{r^{\prime 2}}{\mathbf{r}}^{\prime }|}\right)=\frac{1}{4\pi }\sum _{\ell =0}^{\infty }\frac{r_{<}^{\ell }}{r_{>}^{\ell +1}}\left(1-{\left(\frac{r_{>}}{R}\right)}^{2\ell +1}\right)P_{\ell }(\cos \gamma )$$

$$G_{\text{Kugel}}(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=-\frac{1}{4\pi }\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}-\frac{R/r^{\prime }}{|\mathbf{r}-\frac{R^2}{r^{\prime 2}}{\mathbf{r}}^{\prime }|}\right)=-\frac{1}{4\pi }\sum _{\ell =0}^{\infty }\frac{r_{<}^{\ell }}{r_{>}^{\ell +1}}\left(1-{\left(\frac{r_{>}}{R}\right)}^{2\ell +1}\right)P_{\ell }(\cos \gamma )$$

• $r_{<}=\min (r,r^{\prime })$, $r_{>}=\max (r,r^{\prime })$, $\gamma$ Winkel zwischen $\mathbf{r}$ und ${\mathbf{r}}^{\prime }$.
• Check: für $r_{>}=R$ verschwindet jeder Summand; für $R\to \infty$ folgt $G\to G_0$.

Höhenlinien der Dirichlet-Green-Funktion der Kugel für eine Quelle bei r′ (exakt berechnet). Nahe der Quelle sind sie kreisförmig wie bei G₀, zum Rand hin drückt der Bildterm sie auf G_D = 0. Der Bildpunkt r″ liegt außerhalb auf derselben Geraden.

4. Zylinder (geerdete Wand, Radius $R$)

Innenraum $\rho ,{\rho }^{\prime }<R$:

$$G_{\text{Zyl}}=\frac{1}{2{\pi }^2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{e}^{im(\varphi -{\varphi }^{\prime })}{\int }_0^{\infty }dk\cos (k(z-z^{\prime }))\left[I_m(k{\rho }_{<})K_m(k{\rho }_{>})-\frac{K_m(kR)}{I_m(kR)}{I}_m(k\rho )I_m(k{\rho }^{\prime })\right]$$

$$G_{\text{Zyl}}=-\frac{1}{2{\pi }^2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{e}^{im(\varphi -{\varphi }^{\prime })}{\int }_0^{\infty }dk\cos (k(z-z^{\prime }))\left[I_m(k{\rho }_{<})K_m(k{\rho }_{>})-\frac{K_m(kR)}{I_m(kR)}{I}_m(k\rho )I_m(k{\rho }^{\prime })\right]$$

• $I_m$, $K_m$: modifizierte Bessel-Funktionen. Der erste Term allein ist die Freiraum-Funktion $G_0$ in Zylinderkoordinaten; der zweite (homogene) Term sorgt für $G=0$ bei $\rho =R$.
• Praktisch numerisch mit endlichem $k$-Cutoff und Modenlimit $m_{\max }$.

5. Nutzung im RB-Problem

• Aus dem Greenschen Satz (mit ${\nabla }^{\prime 2}G=-\delta$${\nabla }^{\prime 2}G=+\delta$, Ableitungen nach ${\mathbf{r}}^{\prime }$, Normale nach außen): $\varphi (\mathbf{r})=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\int }_V\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })G(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }+{\oint }_{\partial V}\left[G\frac{\partial \varphi }{\partial n^{\prime }}-\varphi \frac{\partial G}{\partial n^{\prime }}\right]d{A}^{\prime }.$$\varphi (\mathbf{r})=-4\pi {\int }_V\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })G(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }+{\oint }_{\partial V}\left[\varphi \frac{\partial G}{\partial n^{\prime }}-G\frac{\partial \varphi }{\partial n^{\prime }}\right]d{A}^{\prime }.$
• Dirichlet-Problem: wähle $G_D=0$ auf $\partial V$, dann bleibt nur $-\oint \varphi {\partial }_{n^{\prime }}{G}_{D}d{A}^{\prime }$$+\oint \varphi {\partial }_{n^{\prime }}{G}_{D}d{A}^{\prime }$ als Randterm.
• Neumann-Problem: ${\partial }_{n^{\prime }}{G}_N=-1/A$${\partial }_{n^{\prime }}{G}_N=+1/A$ auf $\partial V$ (nicht $0$, wegen Gauß); der Randterm liefert dann eine Konstante $⟨\varphi {⟩}_{\partial V}$.

6. Verknüpfungen

• Randwertprobleme (Elektrostatik) – Einbettung in SoV/Fourier.
• Spiegelmethode (Elektrostatik) – Ebene als einfachster Green-Fall.
• Multipolentwicklung (Elektrostatik) – Fernausdehnung von $G$.