Green-Funktionen (Elektrostatik)

Kurzer Spickzettel für Green-Funktionen $G(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })$ in typischen Geometrien. Dient als Referenz für Randwertprobleme (Elektrostatik), Spiegelmethode (Elektrostatik), Multipolentwicklung (Elektrostatik) und numerische Löser.

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1. Freier Raum

$$G_0(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$$

• Eigenschaften: ${\nabla }^2{G}_0=-\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })$; fällt wie $1/r$.
• Symmetrie: $G_0(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=G_0({\mathbf{r}}^{\prime },\mathbf{r})$.

2. Geerdete Ebene (Halbraum, Spiegelmethode)

$$G_{\text{Ebene}}(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=\frac{1}{4\pi }\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}-\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime \ast }|}\right)$$

• ${\mathbf{r}}^{\prime \ast }$: Spiegelpunkt an der Ebene ($z\to -z$).
• Dirichlet-RB $\varphi (z=0)=0$ automatisch erfüllt.

3. Kugel (geerdet, Radius $R$)

Innenraum $r,r^{\prime }<R$ (Dirichlet $G=0$ bei $r=R$), geschlossen per Spiegelladung $-R/r^{\prime }$ bei ${\mathbf{r}}^{\prime \prime }=(R^2/r^{\prime 2}){\mathbf{r}}^{\prime }$:

$$G_{\text{Kugel}}(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=\frac{1}{4\pi }\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}-\frac{R/r^{\prime }}{|\mathbf{r}-\frac{R^2}{r^{\prime 2}}{\mathbf{r}}^{\prime }|}\right)=\frac{1}{4\pi }\sum _{\ell =0}^{\infty }\frac{r_{<}^{\ell }}{r_{>}^{\ell +1}}\left(1-{\left(\frac{r_{>}}{R}\right)}^{2\ell +1}\right)P_{\ell }(\cos \gamma )$$

• $r_{<}=\min (r,r^{\prime })$, $r_{>}=\max (r,r^{\prime })$, $\gamma$ Winkel zwischen $\mathbf{r}$ und ${\mathbf{r}}^{\prime }$.
• Check: für $r_{>}=R$ verschwindet jeder Summand; für $R\to \infty$ folgt $G\to G_0$.

4. Zylinder (geerdete Wand, Radius $R$)

Innenraum $\rho ,{\rho }^{\prime }<R$:

$$G_{\text{Zyl}}=\frac{1}{2{\pi }^2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{e}^{im(\varphi -{\varphi }^{\prime })}{\int }_0^{\infty }dk\cos (k(z-z^{\prime }))\left[I_m(k{\rho }_{<})K_m(k{\rho }_{>})-\frac{K_m(kR)}{I_m(kR)}{I}_m(k\rho )I_m(k{\rho }^{\prime })\right]$$

• $I_m$, $K_m$: modifizierte Bessel-Funktionen. Der erste Term allein ist die Freiraum-Funktion $G_0$ in Zylinderkoordinaten; der zweite (homogene) Term sorgt für $G=0$ bei $\rho =R$.
• Praktisch numerisch mit endlichem $k$-Cutoff und Modenlimit $m_{\max }$.

5. Nutzung im RB-Problem

• Aus dem Greenschen Satz (mit ${\nabla }^{\prime 2}G=-\delta$, Ableitungen nach ${\mathbf{r}}^{\prime }$, Normale nach außen): $\varphi (\mathbf{r})=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\int }_V\rho ({\mathbf{r}}^{\prime })G(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }+{\oint }_{\partial V}\left[G\frac{\partial \varphi }{\partial n^{\prime }}-\varphi \frac{\partial G}{\partial n^{\prime }}\right]d{A}^{\prime }.$
• Dirichlet-Problem: wähle $G_D=0$ auf $\partial V$, dann bleibt nur $-\oint \varphi {\partial }_{n^{\prime }}{G}_{D}d{A}^{\prime }$ als Randterm.
• Neumann-Problem: ${\partial }_{n^{\prime }}{G}_N=-1/A$ auf $\partial V$ (nicht $0$, wegen Gauß); der Randterm liefert dann eine Konstante $⟨\varphi {⟩}_{\partial V}$.

6. Verknüpfungen

• Randwertprobleme (Elektrostatik) – Einbettung in SoV/Fourier.
• Spiegelmethode (Elektrostatik) – Ebene als einfachster Green-Fall.
• Multipolentwicklung (Elektrostatik) – Fernausdehnung von $G$.