Variationsprinzip der Elektrostatik

Wie in der Mechanik das Hamiltonsche Prinzip die Bewegungsgleichungen liefert, so liefert in der Elektrostatik ein Energiefunktional die Poisson-Gleichung: Unter allen Potentialen mit den vorgegebenen Randwerten macht die physikalische Lösung das Funktional minimal. Daraus folgt die Existenz der Lösung von Randwertproblemen, und man bekommt eine Näherungsmethode für Probleme ohne geschlossene Lösung.

Das Energiefunktional

$$W[\varphi ]=\int d^{3}r\left[\frac{{\epsilon }_0}{2}|\nabla \varphi {|}^2-\rho \varphi \right]$$

$$W[\varphi ]=\int d^{3}r\left[\frac{1}{8\pi }|\nabla \varphi {|}^2-\rho \varphi \right]$$

Der erste Term ist die Energie des Felds $\mathbf{E}=-\nabla \varphi$, der zweite die Wechselwirkung der Ladungsverteilung $\rho$ mit dem Potential. $W$ ordnet jeder Funktion $\varphi$ eine Zahl zu. Gesucht ist die Funktion, für die diese Zahl extremal wird.

Herleitung der Poisson-Gleichung

Variiere um eine Lösung ${\varphi }_0$ herum, $\varphi ={\varphi }_0+ϵ\eta$, mit $\eta =0$ auf dem Rand (die Randwerte sind vorgegeben). Einsetzen und nach Potenzen von $ϵ$ ordnen:

$$W[\varphi ]=W[{\varphi }_0]+ϵ\int d^{3}r\left[{\epsilon }_0\nabla {\varphi }_0\cdot \nabla \eta -\rho \eta \right]+{ϵ}^2\int d^{3}r\frac{{\epsilon }_0}{2}|\nabla \eta {|}^2.$$

$$W[\varphi ]=W[{\varphi }_0]+ϵ\int d^{3}r\left[\frac{1}{4\pi }\nabla {\varphi }_0\cdot \nabla \eta -\rho \eta \right]+{ϵ}^2\int d^{3}r\frac{1}{8\pi }|\nabla \eta {|}^2.$$

Am Extremum verschwindet der lineare Term. Partielle Integration wälzt den Gradienten von $\eta$ auf ${\varphi }_0$ über; der Randterm fällt weg, weil $\eta$ dort null ist:

$$\int d^{3}r\left[-{\epsilon }_0\Delta {\varphi }_0-\rho \right]\eta =0.$$

$$\int d^{3}r\left[-\frac{1}{4\pi }\Delta {\varphi }_0-\rho \right]\eta =0.$$

Das muss für jede Variation $\eta$ gelten, also verschwindet die eckige Klammer:

$$\Delta {\varphi }_0=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}.$$

$$\Delta {\varphi }_0=-4\pi \rho .$$

Der Term zweiter Ordnung ist immer positiv. Das Extremum ist also ein Minimum: Die Lösung der Poisson-Gleichung minimiert $W$.

Vorzeichen bei der partiellen Integration

$\int \nabla {\varphi }_0\cdot \nabla \eta d^{3}r=-\int \eta \Delta {\varphi }_0{d}^{3}r$ (plus Randterm). Das Minuszeichen ist der Grund, warum in der Klammer $-\Delta {\varphi }_0$ steht und die Poisson-Gleichung ein negatives Vorzeichen bekommt.

Wert am Minimum

Mit $\int |\nabla {\varphi }_0{|}^2=-\int {\varphi }_0\Delta {\varphi }_0=\frac{1}{{\epsilon }_0}\int \rho {\varphi }_0$$\int |\nabla {\varphi }_0{|}^2=-\int {\varphi }_0\Delta {\varphi }_0=4\pi \int \rho {\varphi }_0$ (bei verschwindendem Randterm) folgt

$$W[{\varphi }_0]=\frac{1}{2}\int \rho {\varphi }_0{d}^{3}r-\int \rho {\varphi }_0{d}^{3}r=-\frac{1}{2}\int \rho {\varphi }_0{d}^{3}r.$$

Das Funktional ist also am Minimum nicht die Feldenergie $W_{\text{Feld}}=\frac{1}{2}\int \rho \varphi$ aus Energie und Kapazität in der Elektrostatik, sondern deren Negatives. Für die Herleitung der Feldgleichung spielt das keine Rolle; beim Einsetzen von Zahlen sollte man die beiden Größen aber nicht verwechseln.

Existenz und Eindeutigkeit

• Existenz: $W$ ist nach unten beschränkt und wird von einer Funktion mit den vorgegebenen Randwerten minimiert. Diese Funktion löst die Poisson-Gleichung, auch wenn die Randwerte nicht null sind (null sein muss nur die Variation $\eta$).
• Eindeutigkeit: folgt getrennt aus der ersten Greenschen Identität. Zwei Lösungen unterscheiden sich höchstens um eine Konstante, siehe Randwertprobleme (Elektrostatik).

Anwendung: Ritz-Verfahren

Setzt man für $\varphi$ eine Familie von Testfunktionen mit freien Parametern ein und minimiert $W$ nach diesen Parametern, erhält man die beste Näherung innerhalb der Familie. Liegt die exakte Lösung in der Familie, findet man sie genau.

Aufgabe: Geladene Schicht zwischen geerdeten Platten

Zwischen zwei geerdeten Platten bei $z=\pm d$ liegt die konstante Ladungsdichte ${\rho }_0$. Bestimme das Potential mit dem Ansatz $\varphi (z)=A(d^2-z^2)$, der die Randbedingungen $\varphi (\pm d)=0$ erfüllt.

Lösung

1. Einsetzen (pro Fläche): ${\varphi }^{\prime }=-2Az$, also $W(A)={\int }_{-d}^d\left[\frac{{\epsilon }_0}{2}4A^2{z}^2-{\rho }_{0}A(d^2-z^2)\right]dz=\frac{4{\epsilon }_0{d}^3}{3}{A}^2-\frac{4{\rho }_0{d}^3}{3}A.$$W(A)={\int }_{-d}^d\left[\frac{1}{8\pi }4A^2{z}^2-{\rho }_{0}A(d^2-z^2)\right]dz=\frac{d^3}{3\pi }{A}^2-\frac{4{\rho }_0{d}^3}{3}A.$
2. Minimieren: $\frac{dW}{dA}=0$ ergibt $A=\frac{{\rho }_0}{2{\epsilon }_0}$$A=2\pi {\rho }_0$.
3. Ergebnis: $\varphi (z)=\frac{{\rho }_0}{2{\epsilon }_0}(d^2-z^2)$$\varphi (z)=2\pi {\rho }_0(d^2-z^2)$.

Check: Das ist genau die exakte Lösung der Poisson-Gleichung aus der Lernseite (Abschnitt „Beispiele – Laplace/Poisson“), weil der Ansatz sie enthält. Mit einem schlechteren Ansatz (z. B. $\varphi =A\cos (\pi z/2d)$) liegt $W$ etwas über dem Minimum.

Verwandte Seiten

• Elektrostatik - Lernseite (Grundlagen): Poisson-Gleichung und Beispiele
• Energie und Kapazität in der Elektrostatik: Feldenergie $\frac{1}{2}\int \rho \varphi$
• Randwertprobleme (Elektrostatik): Dirichlet- und Neumann-Bedingungen, Eindeutigkeitssatz

Im Skript WiSe 26/27: Abschnitt II.D.