Induktivität und magnetische Energie

Kerne aus V16: L für Einzelspulen und Kopplung, Energie im Magnetfeld, quasistatische Annahme (keine Abstrahlung).

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1. Selbst- und Gegeninduktivität

Ringspannung einer Schleife:

$$\mathcal{E}=-\frac{d{\Phi }_B}{dt}=-L\frac{dI}{dt}.$$

Gekoppelte Schleifen:

$${\mathcal{E}}_1=-L_{11}\frac{d{I}_1}{dt}-M\frac{d{I}_2}{dt},{\mathcal{E}}_2=-M\frac{d{I}_1}{dt}-L_{22}\frac{d{I}_2}{dt}.$$

Symmetrie: $M_{12}=M_{21}=M$.

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2. Energie im Magnetfeld

$$W=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\int \mathbf{J}\cdot \mathbf{A}{d}^{3}r=\frac{1}{2{\mu }_0}\int |\mathbf{B}{|}^2{d}^{3}r.$$

Dichte: $u_B=|\mathbf{B}{|}^2/(2{\mu }_0)$.

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3. Beispielwerte (klassisch)

• Langer Leiter (Selbstinduktion, Radius $a$, Länge $\ell$): $L\sim \frac{{\mu }_0\ell }{2\pi }\ln (\ell /a)$ (Log-Korrektur).
• Solenoid: $L={\mu }_0{n}^{2}A\ell$ (ohne Kern). Mit Kern: $\mu \to {\mu }_r{\mu }_0$.
• Toroid: $L=\frac{{\mu }_0{N}^{2}A}{2\pi r_m}$.

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4. Schwingkreis (LC)

Energiependel zwischen $\frac{1}{2}C{V}^2$ und $\frac{1}{2}L{I}^2$, Eigenfrequenz ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ (quasistatisch, keine Abstrahlung).

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5. Verknüpfungen

• Induktion: Faraday-Induktion (Elektrodynamik).
• Felder/Potentiale: Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential.
• Materie: Magnetische Felder in Materie, Materialgesetze Magnetik.
• Dynamik: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.