Induktivität und magnetische Energie

Selbst- und Gegeninduktivität, die im Magnetfeld gespeicherte Energie und typische Induktivitäten – alles in quasistatischer Näherung (ohne Abstrahlung).

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1. Selbst- und Gegeninduktivität

Ringspannung einer Schleife:

$$\mathcal{E}=-\frac{d{\Phi }_B}{dt}=-L\frac{dI}{dt}.$$

$$\mathcal{E}=-\frac{1}{c}\frac{d{\Phi }_B}{dt}=-L\frac{dI}{dt},{\Phi }_B=cLI.$$

Gekoppelte Schleifen:

$${\mathcal{E}}_1=-L_{11}\frac{d{I}_1}{dt}-M\frac{d{I}_2}{dt},{\mathcal{E}}_2=-M\frac{d{I}_1}{dt}-L_{22}\frac{d{I}_2}{dt}.$$

Symmetrie: $M_{12}=M_{21}=M$.

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2. Energie im Magnetfeld

$$W=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\int \mathbf{J}\cdot \mathbf{A}{d}^{3}r=\frac{1}{2{\mu }_0}\int |\mathbf{B}{|}^2{d}^{3}r.$$

$$W=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2c}\int \mathbf{J}\cdot \mathbf{A}{d}^{3}r=\frac{1}{8\pi }\int |\mathbf{B}{|}^2{d}^{3}r.$$

Dichte: $u_B=|\mathbf{B}{|}^2/(2{\mu }_0)$$u_B=|\mathbf{B}{|}^2/(8\pi )$.

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3. Beispielwerte (klassisch)

• Langer Leiter (Selbstinduktion, Radius $a$, Länge $\ell$): $L\sim \frac{{\mu }_0\ell }{2\pi }\ln (\ell /a)$$L\sim \frac{2\ell }{c^2}\ln (\ell /a)$ (Log-Korrektur).
• Solenoid: $L={\mu }_0{n}^{2}A\ell$$L=\frac{4\pi n^{2}A\ell }{c^2}$ (ohne Kern). Mit Kern: ${\mu }_0\to {\mu }_r{\mu }_0$$L\to \mu L$.
• Toroid: $L=\frac{{\mu }_0{N}^{2}A}{2\pi r_m}$$L=\frac{2N^{2}A}{c^2{r}_m}$.

Endliche Spule mit 14 Windungen, Feldlinien exakt aus der Summe der Ringströme berechnet. Innen ist B nahezu homogen, daher Φ = BA pro Windung und L ∝ n²Aℓ. Außen verteilt sich der Rückfluss auf einen großen Raum.

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Beispielaufgabe

Aufgabe: Induktivität eines Koaxialkabels

Ein Koaxialkabel besteht aus einem dünnwandigen Innenleiter (Radius $a$) und einem dünnwandigen Außenleiter (Radius $b$), die den Strom $I$ in entgegengesetzter Richtung führen. Bestimme die Induktivität pro Länge auf zwei Wegen.

Lösung

1. Feld: Nur zwischen den Leitern ist $B\ne 0$: $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$B=\frac{2I}{cr}$ für $a<r<b$ (außen heben sich die Ströme auf).
2. Weg 1 – Fluss: durch ein Rechteck der Länge $\ell$ zwischen den Leitern $\Phi =\ell {\int }_a^b\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}dr=\frac{{\mu }_{0}I\ell }{2\pi }\ln \frac{b}{a}\Rightarrow L^{\prime }=\frac{\Phi }{I\ell }=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\ln \frac{b}{a}.$$\Phi =\ell {\int }_a^b\frac{2I}{cr}dr=\frac{2I\ell }{c}\ln \frac{b}{a}\Rightarrow L^{\prime }=\frac{\Phi }{cI\ell }=\frac{2}{c^2}\ln \frac{b}{a}.$
3. Weg 2 – Energie: $W^{\prime }={\int }_a^b\frac{B^2}{2{\mu }_0}2\pi rdr=\frac{{\mu }_0{I}^2}{4\pi }\ln \frac{b}{a}=\frac{1}{2}{L}^{\prime }{I}^2✓$$W^{\prime }={\int }_a^b\frac{B^2}{8\pi }2\pi rdr=\frac{I^2}{c^2}\ln \frac{b}{a}=\frac{1}{2}{L}^{\prime }{I}^2✓$

Merke: Fluss- und Energiemethode müssen dasselbe liefern – ein guter Selbstcheck. Die Formel ist das magnetische Gegenstück zur Kapazität des Zylinderkondensators.

4. Schwingkreis (LC)

Energiependel zwischen $\frac{1}{2}C{V}^2$ und $\frac{1}{2}L{I}^2$, Eigenfrequenz ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ (quasistatisch, keine Abstrahlung).

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5. Verknüpfungen

• Induktion: Faraday-Induktion (Elektrodynamik).
• Felder/Potentiale: Stromverteilungen und Magnetisches Vektorpotential.
• Materie: Magnetische Felder in Materie, Materialgesetze Magnetik.
• Dynamik: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen.