Relativität – Lorentz-Transformation

Aus Einsteins Relativitätsprinzip und der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit folgt die Lorentz-Transformation – die Grundlage, unter der die Maxwell-Gleichungen forminvariant sind.

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1. Postulate

1. Physik ist in allen Inertialsystemen gleich (Relativitätsprinzip).
2. Lichtgeschwindigkeit $c$ ist in allen Inertialsystemen konstant.

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2. Lorentz-Boost (1D, Geschwindigkeit $v$ entlang $x$)

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}},\beta =v/c;\begin{array}{rl}c{t}^{\prime }& =\gamma (ct-\beta x),\\ x^{\prime }& =\gamma (x-\beta ct),\\ y^{\prime }& =y,z^{\prime }=z.\end{array}$$

Inverse: $\beta \to -\beta$. Galilei-Grenze $v\ll c$ → $x^{\prime }=x-vt$, $t^{\prime }=t$.

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3. Konsequenzen

• Zeitdilatation: $\Delta t=\gamma \Delta \tau$; die Eigenzeit $\Delta \tau$ einer bewegten Uhr ist kürzer als die Koordinatenzeit $\Delta t$.
• Längenkontraktion: $L=L_0/\gamma$ entlang der Bewegungsrichtung ($L_0$ = Ruhelänge).
• Relativität der Gleichzeitigkeit.

Minkowski-Diagramm für β = 0,5: Die Achsen von S′ kippen symmetrisch zum Lichtkegel. Ihre Einheiten liegen auf den Hyperbeln s² = ±1. A und B liegen auf einer Parallelen zur x′-Achse: gleichzeitig in S′, nicht in S.

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Beispielaufgabe

Aufgabe: Myonen aus der Atmosphäre

Myonen entstehen in etwa $10\mathrm{km}$ Höhe und fliegen mit $v=0,998c$ zum Boden. Ihre mittlere Lebensdauer in Ruhe ist $\tau =2,2\mu \mathrm{s}$. Welcher Anteil erreicht den Boden – mit und ohne Zeitdilatation?

Lösung

1. Lorentzfaktor: $\gamma =1/\sqrt{1-0,998^2}\approx 15,8$.
2. Flugzeit im Erdsystem: $t=\frac{10\mathrm{km}}{0,998c}\approx 33,4\mu \mathrm{s}$.
3. Eigenzeit der Myonen: $\Delta \tau =t/\gamma \approx 2,11\mu \mathrm{s}$.
4. Überlebender Anteil: $e^{-\Delta \tau /\tau }=e^{-0,96}\approx 38\%$. Ohne Zeitdilatation wäre es $e^{-33,4/2,2}\approx 3\cdot 10^{-7}$.
5. Sicht der Myonen: Für sie ist die Atmosphäre auf $10\mathrm{km}/\gamma \approx 630\mathrm{m}$ verkürzt – dieselbe Eigenzeit, andere Erklärung.

Merke: Zeitdilatation (Erdsystem) und Längenkontraktion (Myonsystem) beschreiben denselben Vorgang aus zwei Inertialsystemen.

4. Minkowski-Raum (Kurzverweis)

Vierervektoren $x^{\mu }=(ct,\mathbf{x})$, Metrik $\eta =\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$, Invariante $s^2=c^2{t}^2-|\mathbf{x}{|}^2$. Siehe Minkowski-Raum und Vierervektoren.

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5. Verknüpfungen

• EM-Kovarianz: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen (Maxwell bleibt forminvariant).
• Experimente: Michelson–Morley (Null-Resultat), Lichtuhren-Denken für $c=\text{const}$.
• Vierervektoren & Poincaré-Gruppe: Minkowski-Raum und Vierervektoren.