Minkowski-Raum und Vierervektoren

Die spezielle Relativitätstheorie lässt sich am elegantesten im vierdimensionalen Minkowski-Raum formulieren: Metrik, Vierervektoren, Lorentz- und Poincaré-Gruppe.

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1. Vierervektoren & Metrik

Koordinaten: $x^{\mu }=(ct,x,y,z)$, Metrik $\eta =\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$. Norm:

$$s^2={\eta }_{\mu \nu }{x}^{\mu }{x}^{\nu }=c^2{t}^2-|\mathbf{x}{|}^2(\text{invariant}).$$

Kontravariant vs. kovariant: $x_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{x}^{\nu }$.

Minkowski-Diagramm für β = 0,5: Die Achsen von S′ kippen symmetrisch zum Lichtkegel. Ihre Einheiten liegen auf den Hyperbeln s² = ±1. A und B liegen auf einer Parallelen zur x′-Achse: gleichzeitig in S′, nicht in S.

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2. Lorentz-Transformation (allgemein)

Lineare Abbildung $\Lambda$ mit ${\Lambda }^T\eta \Lambda =\eta$; daraus $\det \Lambda =\pm 1$ und $|{\Lambda }_0^0|\ge 1$. Eigentliche orthochrone Lorentz-Transformationen: $\det \Lambda =+1$, ${\Lambda }_0^0\ge 1$. Boosts (3) + Rotationen (3) → 6 Parameter.

Vierervektoren transformieren: $x^{\prime \mu }={\Lambda }_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }$.

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3. Vierergrößen (kurz)

• Vierergeschwindigkeit: $u^{\mu }=\gamma (c,\mathbf{v})$, $u^2=c^2$.
• Viererimpuls: $p^{\mu }=m{u}^{\mu }$, Invariante $p^2=m^2{c}^2$.
• Viererstrom / Viererpotenzial (EM): $J^{\mu }=(c\rho ,\mathbf{J})$, $A^{\mu }=(\varphi /c,\mathbf{A})$.

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4. Poincaré-Gruppe (kurz)

Lorentz + Translation → 10 Parameter. Zusammensetzung bildet Gruppe, Invariante $s^2$ bleibt erhalten. Boost in beliebiger Richtung via Rapidität; Matrizen multiplikativ.

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5. Verknüpfungen

• Lorentz-Boosts & Effekte: Relativität – Lorentz-Transformation.
• EM-Kovarianz: Elektrodynamik - Dynamik und Wellen; EM-Tensor $F^{\mu \nu }$, Energie-Impuls-Tensor $T^{\mu \nu }$ (siehe Impulsbilanz und Poynting-Vektor).