Lernpfad 2: Randwertprobleme & Multipole

Wenn Leiter und Grenzflächen ins Spiel kommen, reicht Gauß nicht mehr. Hier lernst du die Standardmethoden, um die Poisson- und Laplace-Gleichung mit Randbedingungen zu lösen.

Voraussetzungen

Lernpfad 1, Legendre-Polynome schadet nicht.

Zur Vorlesung WiSe 26/27

Entspricht Skript II.E–G (Randwertprobleme, Bildladungen, Multipolentwicklung). Die Vorlesung begründet Bildladungen über Symmetrien: Spiegelung, Translation, Drehung und Inversion ${\mathbf{r}}^{\prime }=\frac{R^2}{r^2}\mathbf{r}$ (für die Kugel). Die Green-Funktion hat dort das Vorzeichen $G=-\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$. Das Skript normiert die sphärischen Multipolmomente als $q_{\ell m}=\sqrt{\frac{4\pi }{2\ell +1}}\int \rho r^{\prime \ell }{Y}_{\ell m}^{\ast }{d}^3{r}^{\prime }$; damit wird der Monopolterm einfach $Q/r$.

Die Schritte

1. Randwertprobleme (Elektrostatik)
   Dirichlet und Neumann, Eindeutigkeitssatz, welche Methode wann.
2. Spiegelmethode (Elektrostatik)
   Bildladungen für Ebene und Kugel, induzierte Flächenladung, Kräfte.
3. Legendre-Ansatz und Grenzflächen
   Separation in Kugelkoordinaten; leitende und dielektrische Kugel im homogenen Feld.
4. Multipolentwicklung (Elektrostatik)
   Monopol, Dipol, Quadrupol – das Fernfeld beliebiger Ladungsverteilungen.
5. Green-Funktionen (Elektrostatik)
   Die allgemeine Lösung mit Randterm; Halbraum, Kugel, Zylinder.

Selbsttest

Hake ab, was du sicher kannst – der Stand bleibt in deinem Browser gespeichert.

• Ich kann begründen, warum die Lösung der Poisson-Gleichung bei Dirichlet-Randbedingungen eindeutig ist.
• Ich kann Ort und Größe der Bildladung für eine geerdete Kugel herleiten.
• Ich weiß, welche Terme $A_{\ell }{r}^{\ell }$ bzw. $B_{\ell }{r}^{-(\ell +1)}$ innen und außen erlaubt sind.
• Ich kann das Innenfeld einer dielektrischen Kugel im homogenen Feld angeben: $E_{\text{in}}=\frac{3}{{\epsilon }_r+2}{E}_0$$E_{\text{in}}=\frac{3}{\epsilon +2}{E}_0$.
• Ich weiß, warum das Dipolmoment nur für $Q=0$ unabhängig von der Wahl des Ursprungs ist.
• Ich kann die Influenzladung $\sigma =-{\epsilon }_0{\partial }_n\varphi$$\sigma =-\frac{1}{4\pi }{\partial }_n\varphi$ einer Punktladung vor einer geerdeten Ebene ausrechnen und zeigen, dass sie insgesamt $-q$ ergibt.
• Ich weiß, welches Vorzeichen die Green-Funktion in der Vorlesung hat und warum $G$ und Quellterm aus derselben Konvention stammen müssen.

Häufige Fehler

• Feld im falschen Gebiet: Die Bildladungslösung gilt nur im physikalischen Raum, nicht am Ort der Bildladung.
• Innen/außen vertauscht: Innen keine $r^{-(\ell +1)}$-Terme (Singularität), außen keine $r^{\ell }$-Terme (Abfall).
• Randbedingung an Dielektrika: Stetig sind $\varphi$, $E_t$ und (ohne freie Ladung) $D_n$ – nicht $E_n$.
• Green-Funktion aus dem falschen System: SI-Wiki $G_0=+\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$ mit ${\nabla }^2{G}_0=-\delta$, Vorlesung $G=-\frac{1}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$ mit $\Delta G=+\delta$. Gemischt ergibt sich ein falsches Vorzeichen im Potential.
• Quadrupol-Konventionen: Spurfrei mit Faktor $\frac{1}{2}$ oder ohne – innerhalb einer Rechnung konsistent bleiben.

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